📄 문제
13. 함수 \( f(x)=x^2-4x-3 \)에 대하여 곡선 \( y=f(x) \) 위의 점 \( (1,-6) \)에서의 접선을 \( l \)이라 하고,
함수 \( g(x)=(x^3-2x)f(x) \)에 대하여 곡선 \( y=g(x) \) 위의 점 \( (1,6) \)에서의 접선을 \( m \)이라 하자.
두 직선 \( l, m \)과 \( y \)축으로 둘러싸인 도형의 넓이는? [4점]
① 21
② 28
③ 35
④ 42
⑤ 49
1️⃣ 💡 문제 한 줄 요약
접선 2개(\( l, m \))를 직선 2개로 만들어 식을 구하고, 그 직선들과 \( y \)축이 만드는 삼각형 넓이를 구하면 끝입니다.
2️⃣ 📘 교과서 정공 풀이 (기본기)
- 접선: 그 점을 지나면서, 그 점에서의 기울기가 같은 직선
- 기울기: 곡선의 기울기는 미분값으로 구함
- 곱미분: \( g(x) \)는 곱이므로 \( (uv)’=u’v+uv’ \)로 미분
- 넓이: \( \frac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이} \)
3️⃣ 🧠 고수 관점 / 핵심 통찰
이 문제는 곡선을 그릴 필요가 없습니다. 넓이를 만드는 경계는 오직 직선 3개입니다.
- 직선 \( l \)
- 직선 \( m \)
- \( y \)축 (\( x=0 \))
그래서 해야 할 일은 딱 3개입니다: \( l \) 구하기, \( m \) 구하기, 넓이 구하기.
4️⃣ 🔥 파인만 교습법 설명 (가장 중요)
여기서 수포자가 가장 많이 묻는 “왜?” 두 가지를 먼저 해결합니다.
✅ [질문 A] 접선은 왜 “기울기가 같아야” 하나요?
접선은 “스치고 지나가는 선”이 아닙니다.
그 점에서 잠깐이라도 곡선에 ‘붙어서’ 같은 방향으로 가는 직선입니다.
만약 기울기가 다르면 한쪽이 더 가파르게 되어 바로 떨어져 버립니다.
즉, 붙어 닿으려면 그 점에서 방향(기울기)이 똑같아야 합니다.
✅ [질문 B] 곱미분은 왜 \( u’v+uv’ \) 인가요?
두 덩어리의 곱 \( u \times v \) 가 변하는 이유는 딱 두 가지입니다.
- 앞이 변해서: (앞의 변화) × (뒤의 값) = \( u’v \)
- 뒤가 변해서: (앞의 값) × (뒤의 변화) = \( uv’ \)
현실은 “둘 다 변하므로” 둘을 합쳐야 전체 변화가 됩니다.
$$ (uv)’ = u’v + uv’ $$ (별명: 앞미뒷 + 앞뒷미)
5️⃣ ✏️ 단계별 계산 풀이
Step 1. \( l \) 구하기 (곡선 \( y=f(x) \)의 접선)
$$ f(x)=x^2-4x-3 $$
미분하면 기울기 함수:
$$ f'(x)=2x-4 $$
점 \( x=1 \)에서 기울기:
$$ f'(1)=2(1)-4=-2 $$
접선 \( l \)은 점 \( (1,-6) \)을 지나고 기울기가 \( -2 \)인 직선입니다.
$$ y-(-6)=-2(x-1) \quad \Rightarrow \quad y=-2x-4 $$
Step 2. \( m \) 구하기 (곡선 \( y=g(x) \)의 접선)
$$ g(x)=(x^3-2x)f(x) $$
전개하지 않고 곱미분으로 \( x=1 \)에서의 값만 구합니다.
$$ g'(x)=(x^3-2x)’f(x)+(x^3-2x)f'(x) $$
$$ = (3x^2-2)f(x) + (x^3-2x)f'(x) $$
\( x=1 \)을 대입합니다.
- \( 3(1)^2-2 = 1 \)
- \( f(1) = -6 \)
- \( 1^3-2(1) = -1 \)
- \( f'(1) = -2 \)
$$ g'(1) = 1 \cdot (-6) + (-1) \cdot (-2) = -6+2 = -4 $$
접선 \( m \)은 점 \( (1,6) \)을 지나고 기울기가 \( -4 \)인 직선입니다.
$$ y-6=-4(x-1) \quad \Rightarrow \quad y=-4x+10 $$
Step 3. \( y \)축과 만나는 점(절편) 2개
\( y \)축은 \( x=0 \)입니다.
- \( l \): \( y=-4 \) \(\rightarrow (0,-4)\)
- \( m \): \( y=10 \) \(\rightarrow (0,10)\)
Step 4. 두 직선 \( l, m \)의 교점
$$ -2x-4=-4x+10 \quad \Rightarrow \quad 2x=14 \quad \Rightarrow \quad x=7 $$
교점의 좌표는 \( (7, -18) \) 입니다.
Step 5. 넓이 구하기 (여기서 “높이=가로거리” 강조)
세 꼭짓점: \( (0,-4), (0,10), (7,-18) \)
- 밑변: \( y \)축 위의 길이 \( 10-(-4)=14 \)
- 높이: \( y \)축에서 교점까지의 가로거리 \(= 7\) (교점의 \( x \)좌표)
$$ \text{넓이} = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 7 = 49 $$
6️⃣ ✅ 정답 및 결론
정답: ⑤ 49
7️⃣ ⚠️ 자주 하는 실수
- 전개병: \( g(x) \)를 전개해서 5차식 만들고 시간/실수 폭발 \(\rightarrow\) 곱미분으로 값만 뽑으면 됩니다.
- 높이 착각: 높이를 \( y \)좌표로 착각 \(\rightarrow\) 밑변이 \( y \)축이면 높이는 가로거리(\( x \))입니다.