📄 문제
12. 등비수열 \( \{a_n\} \)이
$$ 2(a_1+a_4+a_7)=6, \qquad a_4+a_7+a_{10}=6 $$
을 만족시킬 때, \( a_{10} \)의 값은? [4점]
① \( \frac{22}{7} \)
② \( \frac{24}{7} \)
③ \( \frac{26}{7} \)
④ \( \frac{30}{7} \)
⑤ \( \frac{32}{7} \)
1️⃣ 💡 문제 한 줄 요약
이 문제는 공비 \( r \)을 억지로 구하는 문제가 아니라, “3칸 점프할 때마다 \( (\times r^3) \)”라는 사실을 이용해 두 식을 나눌 때 \( r^3 \)가 자연스럽게 튀어나오게 만드는 문제입니다.
2️⃣ 📘 교과서 정공 풀이 (기본기)
등비수열의 핵심은 딱 하나입니다.
“한 칸 뒤로 갈 때마다 같은 수 \( r \)을 한 번 곱한다.”
- 1칸 뒤: \( \times r \)
- 2칸 뒤: \( \times r^2 \) (r을 두 번 곱함)
- 3칸 뒤: \( \times r^3 \) (r을 세 번 곱함)
이 문제의 항들은 \( 1 \to 4 \to 7 \to 10 \) 처럼 항 번호가 3씩 뛰므로, 핵심 변수는 \( r \)이 아니라 \( r^3 \) 입니다.
3️⃣ 🧠 고수 관점 / 핵심 통찰
두 식의 덩어리를 비교해 봅시다.
$$ (a_1+a_4+a_7) \quad \text{와} \quad (a_4+a_7+a_{10}) $$
이 두 덩어리는 모양이 똑같습니다. 다만 두 번째 덩어리는 첫 번째 덩어리에서 모든 항이 “3칸씩 뒤로 이동한 모습”입니다.
등비수열에서는 3칸 뒤로 갈 때마다 \( \times r^3 \)이므로 두 번째 덩어리는 첫 번째 덩어리의 \( r^3 \)배가 됩니다.
그래서 두 식을 나누면 “같은 덩어리”가 약분되고, \( r^3 \)만 남습니다.
4️⃣ 🔥 파인만 교습법 설명 (직관)
수포자 기준으로 말로만 풀면 이렇습니다.
- \( a_1 \)에서 시작해서
- 3칸 점프하면 \( a_4 \)
- 또 3칸 점프하면 \( a_7 \)
- 또 3칸 점프하면 \( a_{10} \)
등비수열은 점프할 때마다 같은 배율로 커집니다.
그런데 이 문제는 “한 칸”이 아니라 “세 칸”씩 점프하니까,
세 칸 점프 한 번 = 공비 \( r \)을 세 번 곱한 것 = \( \times r^3 \)
이게 보이면, 나머지는 숫자놀이(약분)입니다.
5️⃣ ✏️ 단계별 계산 풀이
Step 1. “지수는 몇 칸 이동했는지”를 이용해 항을 표현
✅ [수포자 생존 키트 1] 지수 = 칸 수
등비수열 공식 \( a_n = a_1 r^{n-1} \) 에서 \( n-1 \)은 “첫째항에서 몇 칸 이동했는지”입니다.
- \( a_4 \): 3칸 이동 \(\rightarrow r\)을 3번 곱함 \(\rightarrow r^3\)
- \( a_7 \): 6칸 이동 \(\rightarrow r\)을 6번 곱함 \(\rightarrow r^6\)
- \( a_4 = a_1 r^3 \)
- \( a_7 = a_1 r^6 \)
- \( a_{10} = a_1 r^9 \)
Step 2. 첫 번째 조건 정리
$$ 2(a_1+a_4+a_7)=6 $$
괄호 안부터 정리합니다.
$$ a_1+a_4+a_7 = a_1+a_1r^3+a_1r^6 = a_1(1+r^3+r^6) $$
따라서
$$ 2a_1(1+r^3+r^6)=6 \quad \Rightarrow \quad a_1(1+r^3+r^6)=3 \quad (\text{식 ①}) $$
Step 3. 두 번째 조건 정리
$$ a_4+a_7+a_{10}=6 $$
$$ a_1r^3+a_1r^6+a_1r^9 = a_1r^3(1+r^3+r^6) $$
따라서
$$ a_1r^3(1+r^3+r^6)=6 \quad (\text{식 ②}) $$
Step 4. (식 ②)를 (식 ①)로 나누기 — “같은 덩어리는 지워진다”
(식 ①)과 (식 ②)에는 공통으로 \( a_1(1+r^3+r^6) \) 라는 똑같은 덩어리가 들어 있습니다.
그래서 나누면 그 덩어리는 약분되어 사라지고, 남는 것은 \( r^3 \)뿐입니다.
$$ \frac{a_1r^3(1+r^3+r^6)}{a_1(1+r^3+r^6)} = \frac{6}{3} $$
$$ \Rightarrow r^3=2 $$
Step 5. \( a_1 \) 구하기
(식 ①)에 \( r^3=2 \)를 넣습니다.
$$ a_1(1+r^3+r^6)=3 $$
여기서 \( r^6 = (r^3)^2 = 2^2 = 4 \) 입니다.
$$ a_1(1+2+4)=3 \quad \Rightarrow \quad 7a_1=3 \quad \Rightarrow \quad a_1=\frac{3}{7} $$
Step 6. \( a_{10} \) 계산
$$ a_{10} = a_1 r^9 $$
여기서도 “3칸 점프”를 이용합니다. \( r^9 = (r^3)^3 \) 입니다.
$$ a_{10} = \frac{3}{7} \cdot (r^3)^3 = \frac{3}{7} \cdot 2^3 = \frac{3}{7} \cdot 8 = \frac{24}{7} $$
6️⃣ ✅ 정답 및 결론
정답: ② \( \frac{24}{7} \)
핵심 정리:
- 지수는 ‘몇 칸 이동했는지’를 뜻한다.
- 이 문제는 3칸씩 이동하므로 \( r^3 \)로 묶고 계산한다.
- 두 식을 나눌 때 같은 덩어리가 약분된다는 점을 이용한다.
7️⃣ ⚠️ 자주 하는 실수
- 무리한 계산: \( r \)을 직접 구하려고 세제곱근(\( \sqrt[3]{2} \))을 꺼내는 실수 \(\rightarrow\) 이 문제는 \( r^3 \)만 있으면 끝납니다.
- 지수 착각: “3칸 이동”을 무시하고 \( a_4=a_1r \)처럼 쓰는 실수 \(\rightarrow\) 3칸 이동이므로 \( r^3 \)입니다.
- 약분 실패: 나눗셈에서 공통 덩어리를 못 보고 계산이 길어지는 실수.