📄 문제
11. 시각 \( t=0 \)일 때 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 \( P \)가 있다. 실수 \( k \)에 대하여 시각 \( t(t \ge 0) \)일 때 점 \( P \)의 속도 \( v(t) \)가
$$ v(t)=t^2-kt+4 $$
이다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]
<보기>
ㄱ. \( k=0 \)이면, 시각 \( t=1 \)일 때 점 \( P \)의 위치는 \( \frac{13}{3} \)이다.
ㄴ. \( k=3 \)이면, 출발한 후 점 \( P \)의 운동 방향이 한 번 바뀐다.
ㄷ. \( k=5 \)이면, 시각 \( t=0 \)에서 \( t=2 \)까지 점 \( P \)가 움직인 거리는 \( 3 \)이다.① ㄱ
② ㄱ, ㄴ
③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
1️⃣ 💡 문제 한 줄 요약
- 위치: 속도를 시간 동안 “계속 더한 값” → 적분
- 방향 변화: 속도가 (+)에서 (-)로 바뀌는가? → 속도=0 순간 존재?
- 이동거리: 유턴하면 “전진거리 + 후진거리”로 구간을 나눠 더하기
2️⃣ 📘 교과서 정공 풀이 (기본기)
(1) 위치는 “속도의 누적” → 적분
속도는 “1초에 얼마나 움직였는지”입니다. 0초부터 \( t \)초까지의 위치 변화는 그동안의 속도를 계속 더한 값이고, 그걸 적분으로 씁니다. (원점 출발이므로 \( x(0)=0 \))
$$ x(t)=\int_{0}^{t} v(s) ds $$
(2) 방향이 바뀌려면 속도는 0을 지나야 함
전진에서 후진으로 바뀌려면 중간에 반드시 “멈춤”이 있어야 합니다.
방향 변화 \(\Rightarrow\) \( v(t)=0 \) 되는 순간 존재
(3) 이동거리는 “되돌아와도 더한다”
이동거리는 최종 위치가 아니라 움직인 거리의 총합입니다. 유턴하면 구간을 나눠서 더합니다.
3️⃣ 🧠 고수 관점 / 핵심 통찰
보기 ㄱ, ㄴ, ㄷ는 사실 각각 다른 질문입니다.
- ㄱ: “1초 뒤 어디냐?” → 적분으로 위치
- ㄴ: “유턴 했냐?” → 속도 0 존재 여부
- ㄷ: “총 몇 만큼 움직였냐?” → 유턴이면 구간 분할
4️⃣ 🔥 파인만 교습법 설명 (자동차 비유)
속도는 계기판입니다.
- \( v(t)>0 \) : 앞으로 (전진)
- \( v(t)<0 \) : 뒤로 (후진)
- \( v(t)=0 \) : 멈춤 (유턴 가능)
위치는 “그동안의 속도를 쌓은 것”, 이동거리는 “앞으로 간 만큼 + 뒤로 간 만큼”입니다.
5️⃣ ✏️ 단계별 계산 풀이
✅ 공통 준비: 위치 \( x(t) \)부터 만든다
원점에서 출발했으므로 적분합니다.
$$ x(t)=\int_{0}^{t}(s^2-ks+4) ds $$
여기서 수포자가 반드시 묻는 2가지를 먼저 해결하고 갑니다.
✅ [수포자 생존 키트 1] 왜 3으로 나누나요?
우리는 “미분”을 이렇게 씁니다.
- \( s^3 \)을 미분하면 \( 3s^2 \)가 됩니다. (앞에 3이 붙음)
- 그런데 우리는 \( 3s^2 \)가 아니라 \( s^2 \)가 필요합니다.
그래서 방법은 하나입니다.
“미분하면 3이 붙을 거니까, 미리 3으로 나눠 둔다.”
$$ \frac{s^3}{3} $$
이걸 미분하면 앞에 붙는 3과, 미리 나눠둔 3이 서로 사라져서 딱 \( s^2 \)가 됩니다.
그래서 \( \int s^2 ds = \frac{s^3}{3} \) 이라고 쓰는 겁니다.
✅ [수포자 생존 키트 2] \([ \dots ]_0^t\) 읽는 법
이 기호는 뜻이 하나입니다.
“그 식에 \( t \)를 넣어 본 값 − 그 식에 0을 넣어 본 값”
✅ 이제 적분을 실제로 계산한다
$$ x(t) = \left[\frac{s^3}{3}-\frac{k s^2}{2}+4s\right]_{0}^{t} $$
이제 위에서 말한 대로 그대로 합니다.
- \( t \)를 넣는다: \( \frac{t^3}{3}-\frac{k t^2}{2}+4t \)
- 0을 넣는다: 0
- 빼준다: \( (\dots) – 0 \)
따라서 위치 함수는 다음과 같습니다.
$$ x(t)=\frac{t^3}{3}-\frac{k t^2}{2}+4t $$
✅ ㄱ 확인 (\( k=0 \))
\( k=0 \)이면,
$$ x(t)=\frac{t^3}{3}+4t $$
$$ x(1)=\frac{1}{3}+4=\frac{13}{3} $$
따라서 ㄱ은 참입니다.
✅ ㄴ 확인 (\( k=3 \), 방향이 한 번 바뀌는가?)
\( k=3 \)이면,
$$ v(t)=t^2-3t+4 $$
방향이 바뀌려면 \( v(t)=0 \)이 되는 순간이 있어야 합니다. 판별식을 써봅니다.
$$ \Delta =(-3)^2-4(1)(4)=9-16=-7 < 0 $$
판별식이 음수면 0이 되는 순간이 없습니다.
즉, 멈추지 않으니 유턴도 없습니다. 따라서 ㄴ은 거짓입니다.
✅ ㄷ 확인 (\( k=5 \), 0~2초 이동거리)
\( k=5 \)이면,
$$ v(t)=t^2-5t+4=(t-1)(t-4) $$
\( t=1 \)에서 속도가 0이 됩니다. (유턴 발생!)
- 0~1초: 전진
- 1~2초: 후진
위치 함수 \( x(t)=\frac{t^3}{3}-\frac{5t^2}{2}+4t \) 에 대입합니다.
$$ x(1)=\frac{1}{3}-\frac{5}{2}+4=\frac{11}{6} $$
$$ x(2)=\frac{8}{3}-10+8=\frac{2}{3} $$
(1) 전진거리 (0~1초): \( \frac{11}{6} \)
(2) 후진거리 (1~2초): 차이의 절댓값
$$ \left|\frac{2}{3}-\frac{11}{6}\right| = \left|\frac{4}{6}-\frac{11}{6}\right| = \frac{7}{6} $$
(3) 총 이동거리:
$$ \frac{11}{6}+\frac{7}{6}=\frac{18}{6}=3 $$
따라서 ㄷ은 참입니다.
6️⃣ ✅ 정답 및 결론
참인 것은 ㄱ, ㄷ (정답: ③)
7️⃣ ⚠️ 자주 하는 실수
- 이동거리 혼동: 이동거리를 최종 위치로 착각함
- 부호 체크 누락: 방향 변화에서 \( v(t)=0 \)을 확인하지 않음
- 구간 미분할: 유턴했는데 구간을 나누지 않음
- 기호 공포: \( [\dots]_0^t \)를 “새로운 공식”으로 착각 (사실은 위 넣고 – 아래 넣기)