📄 문제
1. 다음 식의 값은 얼마인가? [2점]
$$ 9^{\frac{1}{4}} \times 3^{-\frac{1}{2}} $$
① 1
② \(\sqrt{3}\)
③ 3
④ \(3\sqrt{3}\)
⑤ 9
1️⃣ 문제 한 줄 요약
겉으로는 복잡해 보이지만, 밑을 통일하는 순간 지수가 서로 상쇄되는지를 묻는 문제입니다.
2️⃣ 교과서 정공 풀이 (기본기)
이 문제는 지수법칙의 기본 적용 문제입니다.
핵심은 모든 항을 같은 밑으로 맞추는 것입니다.
- Step 1. 밑 통일하기:
9를 3의 거듭제곱으로 바꾸면 다음과 같습니다.
$$ 9 = 3^2 $$
따라서 식은 이렇게 바뀝니다.
$$ (3^2)^{\frac{1}{4}} \times 3^{-\frac{1}{2}} $$ - Step 2. 지수 정리하기:
거듭제곱의 거듭제곱은 지수를 곱합니다.
$$ (3^2)^{\frac{1}{4}} = 3^{2 \times \frac{1}{4}} = 3^{\frac{1}{2}} $$ - Step 3. 계산하기:
밑이 같은 곱셈은 지수를 더합니다.
$$ 3^{\frac{1}{2}} \times 3^{-\frac{1}{2}} = 3^{\frac{1}{2} – \frac{1}{2}} = 3^0 $$
모든 수의 0제곱은 1입니다.
3️⃣ 고수 관점 / 구조 통찰
이 문제는 계산을 요구하지 않습니다. 출제자는 이렇게 묻고 있습니다.
“9를 3의 제곱으로 해석할 수 있는가?”
밑을 3으로 통일하는 순간, 다음 두 지수가 만납니다.
$$ +\frac{1}{2} \quad \text{vs} \quad -\frac{1}{2} $$
서로 반대되는 힘이 만나 즉시 상쇄(0)되어 끝납니다.
4️⃣ 파인만식 설명 (직관 풀이)
분수 지수와 음수 지수 때문에 겁먹지 마세요. 이렇게 생각하면 단순합니다.
- 앞의 놈(\(9^{\frac{1}{4}}\)): “3의 힘을 반 만큼 키우는 것”
- 뒤의 놈(\(3^{-\frac{1}{2}}\)): “3의 힘을 반 만큼 줄이는 것”
즉, 반 만큼 늘린 것과 반 만큼 줄인 것이 만나면 결과는 ‘변화 없음’입니다.
곱하기에서 변화가 없다는 뜻은 값이 1이 된다는 뜻입니다. (본전)
5️⃣ 정답 및 결론
정답: ① 1
⚠️ 자주 하는 실수
- 9를 그대로 둠: 밑을 통일하지 않고 계산하려 하면 꼬입니다.
- 지수 덧셈 실수: 거듭제곱의 거듭제곱 단계에서는 지수를 더하는 게 아니라 곱해야 합니다.
- 0제곱 착각: \(3^0\)을 0이라고 쓰는 실수를 조심하세요. 답은 1입니다.