📄 문제
3. 수열 \( \{a_k\} \)에 대하여
$$ \sum_{k=1}^{4}(2a_k-k)=0 $$
일 때,
$$ \sum_{k=1}^{4}a_k $$
의 값은? [3점]
① 1
② 2
③ 3
④ 4
⑤ 5
1️⃣ 문제 한 줄 요약
시그마 안의 식을 따로따로 합으로 분리하면, \( \sum a_k \)가 바로 결정됩니다.
2️⃣ 📘 교과서 정공 풀이 (기본기)
시그마는 덧셈·뺄셈에 대해 분배(선형성)가 됩니다.
$$ \sum_{k=1}^{4}(2a_k-k)=\sum_{k=1}^{4}2a_k-\sum_{k=1}^{4}k $$
문제에서 이 값이 0이므로 다음과 같습니다.
$$ \sum_{k=1}^{4}2a_k=\sum_{k=1}^{4}k $$
왼쪽은 \( 2 \)를 밖으로 뺄 수 있습니다.
$$ 2\sum_{k=1}^{4}a_k=\sum_{k=1}^{4}k $$
3️⃣ 🧠 고수 관점 / 구조 통찰
이 문제는 “수열의 성질”을 묻는 게 아니라, 시그마를 분해해서 ‘알고 있는 합(1부터 4까지)’으로 바꾸는 문제입니다.
“\( \sum a_k \)는 미지수지만
\( \sum k \)는 바로 계산 가능”
이 구조를 보는 순간 끝납니다.
4️⃣ 🔥 파인만 직관 설명 (핵심)
시그마는 그냥 “싹 다 더해라” 입니다.
- \( 2a_k \)들을 1~4까지 다 더한 값에서
- \( k \)를 1~4까지 다 더한 값을 뺐더니
- 결과가 0이 되었으니
결국 이런 뜻입니다.
“\( (2a_1+2a_2+2a_3+2a_4) \)의 합이
\( (1+2+3+4) \)의 합과 같다.”
5️⃣ ✏️ 단계별 계산 풀이
Step 1. 오른쪽 합 계산
$$ \sum_{k=1}^{4}k=1+2+3+4=10 $$
Step 2. 식에 대입해서 정리
$$ 2\sum_{k=1}^{4}a_k=10 $$
양변을 2로 나누면 정답이 나옵니다.
$$ \sum_{k=1}^{4}a_k=5 $$
6️⃣ ✅ 정답 및 결론
정답: ⑤ 5
7️⃣ ⚠️ 자주 하는 실수
- 분배 실수: \( \sum(2a_k-k) \)를 \( \sum 2a_k – \sum k \) 로 분리하지 못하고 엉뚱하게 푸는 실수
- 덧셈 실수: \( 1+2+3+4 \)를 9로 계산하는 실수 (정답은 10)
- 나눗셈 누락: \( 2\sum a_k=10 \)에서 2로 나누는 걸 빼먹고 10을 답으로 고르는 실수