📄 문제
8. \( \sin\theta + 3\cos\theta = 0 \) 이고, \( \cos(\pi-\theta) > 0 \) 일 때
$$ \sin\theta $$
의 값은? [3점]
① \( \frac{3\sqrt{10}}{10} \)
② \( \frac{\sqrt{10}}{5} \)
③ \( 0 \)
④ \( -\frac{\sqrt{10}}{5} \)
⑤ \( -\frac{3\sqrt{10}}{10} \)
1️⃣ 문제 한 줄 요약
첫 번째 식으로 사인과 코사인의 크기 관계를 만들고, 두 번째 조건으로 방향(부호)을 정한 뒤, 항등식으로 실제 값을 구하는 문제입니다.
2️⃣ 📘 교과서 정공 풀이 (기본기)
이 문제의 흐름은 다음 세 단계입니다.
- \( \sin\theta + 3\cos\theta = 0 \) → \( \sin\theta \)와 \( \cos\theta \)의 비(관계) 만들기
- \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \) → 값의 크기 계산
- \( \cos(\pi-\theta) > 0 \) → 부호(±) 결정
각을 구할 필요는 없고, 값과 방향만 정확히 잡으면 됩니다.
3️⃣ 🧠 고수 관점 / 구조 통찰
이 문제는 삼각함수를 “각”이 아니라 “방향을 가진 길이”로 볼 수 있는지를 묻습니다.
- 첫 식 → 얼마나 큰가 (비율)
- 둘째 조건 → 어느 쪽인가 (플러스/마이너스)
이 역할 분담만 지키면 계산이 짧아집니다.
4️⃣ 🔥 파인만 교습법 설명 (직관)
① 첫 식이 말해주는 것
$$ \sin\theta + 3\cos\theta = 0 $$
이 말은 이렇게 해석합니다.
“두 수를 더했더니 0이 됐다
→ 크기는 맞고, 방향은 반대다”
즉, \( \sin\theta \)는 \( \cos\theta \)의 3배 크기이고 부호는 서로 반대입니다.
그래서 자연스럽게 다음 식이 나옵니다.
$$ \sin\theta = -3\cos\theta $$
② 두 번째 조건이 진짜 핵심: 방향(부호)
이제 이 조건을 봅니다.
$$ \cos(\pi-\theta) > 0 $$
여기서 공식 대신 말(언어)로 풀어봅시다.
- 코사인은 무엇인가?
→ ‘가로 방향 값’입니다. (오른쪽+, 왼쪽-) - \( \pi-\theta \)는 무슨 뜻인가?
→ \( \pi \)는 180°입니다. 즉, “180°에서 \( \theta \)만큼 뒤로 온 위치”입니다.
→ 이것은 원래 각 \( \theta \)를 좌우로 뒤집은(반전) 위치입니다.
좌우로 뒤집으면 무슨 일이 생길까요?
- 위/아래 방향(사인)은 그대로
- 왼쪽/오른쪽 방향(코사인)은 반대로 바뀜
그래서 결론은 이겁니다.
$$ \cos(\pi-\theta) = -\cos\theta $$
③ 이제 조건을 그대로 적용
문제에서 \( \cos(\pi-\theta) > 0 \) 라고 했으므로,
$$ -\cos\theta > 0 \quad \Rightarrow \quad \cos\theta < 0 $$
👉 코사인은 음수입니다.
그럼 \( \sin\theta = -3\cos\theta \)에서 음수에 마이너스를 곱하므로,
👉 사인은 양수입니다.
🍯 [보너스] 3초 만에 부호 찾는 법 (얼싸안코)
위 논리가 너무 어렵다면, 이것만 기억하세요!
사분면마다 누구네 땅(양수)인지 정해져 있습니다.
“얼(All) · 싸(Sin) · 안(Tan) · 코(Cos)”
- 1사분면 (얼): 전부 다(All) 양수
- 2사분면 (싸): 사인(Sin)만 양수 ← 이 문제!
- 3사분면 (안): 탄젠트(Tan)만 양수
- 4사분면 (코): 코사인(Cos)만 양수
💡 적용: \( \pi(180^\circ) \)에서 조금 뺐으니 2사분면입니다.
2사분면 주인은 사인(Sin)입니다.
그래서 사인은 무조건 양수(+)입니다.
5️⃣ ✏️ 단계별 계산 풀이
Step 1. 관계식 정리
$$ \sin\theta = -3\cos\theta $$
Step 2. 항등식으로 크기 구하기
항상 성립하는 식 \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \) 에 대입합니다.
$$ (-3\cos\theta)^2 + (\cos\theta)^2 = 1 $$
$$ 9\cos^2\theta + \cos^2\theta = 1 $$
$$ 10\cos^2\theta = 1 \quad \Rightarrow \quad \cos^2\theta = \frac{1}{10} $$
따라서 크기는 \( |\cos\theta| = \frac{1}{\sqrt{10}} \) 입니다.
Step 3. 부호 반영
앞에서 \( \cos\theta < 0 \)임을 알았으므로,
$$ \cos\theta = -\frac{1}{\sqrt{10}} $$
Step 4. \( \sin\theta \) 계산
$$ \sin\theta = -3\cos\theta = -3\left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right) = \frac{3}{\sqrt{10}} $$
분모의 루트를 정리(유리화)하면,
$$ \sin\theta = \frac{3\sqrt{10}}{10} $$
6️⃣ ✅ 정답 및 결론
정답: ① \( \frac{3\sqrt{10}}{10} \)
핵심 정리:
- 첫 식은 ‘크기 관계’를 주고,
- 두 번째 식은 ‘방향(부호)’을 정한다.
7️⃣ ⚠️ 자주 하는 실수
- 변환 실수: \( \cos(\pi-\theta) \)를 그냥 \( \cos\theta \)로 보는 실수
→ 실제로는 좌우 반전(부호 반대)입니다. - 부호 누락: \( \cos^2\theta \)까지만 구하고 끝내는 실수
→ 제곱은 부호를 없애므로 조건으로 반드시 ±를 결정해야 합니다.