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📄 문제

2. 함수 \( f(x)=3x^3+4x+1 \) 에 대하여

$$ \lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h} $$

의 값은? [2점]

① 7
② 9
③ 11
④ 13
⑤ 15

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1️⃣ 문제 한 줄 요약

겉으로는 극한 문제처럼 보이지만, 이 식은 \(x=1\) 에서의 미분계수 \( f'(1) \) 를 묻는 신호입니다.

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2️⃣ 📘 교과서 정공 풀이 (기본기)

이 극한식은 미분계수의 정의이므로 다음과 같습니다.

$$ \lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=f'(1) $$

따라서 \( f(x) \)를 미분한 뒤 \( x=1 \)을 대입하면 됩니다.

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3️⃣ 🧠 고수 관점 / 구조 통찰

출제자는 \( \lim \)을 붙여서 계산을 유도하지만, 실제 의도는 단순합니다.

“미분해서 1을 넣어라.”

이걸 알아차리면 전개 계산(노가다)을 하지 않아도 바로 끝납니다.

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4️⃣ 🔥 파인만 직관 설명 (핵심)

학생들이 겁먹는 지점은 \( \lim \)과 \( \frac{f(1+h)-f(1)}{h} \) 같은 형태입니다.
하지만 이건 ‘순간 변화율’을 표시하는 공식 문장일 뿐입니다.
말로 바꾸면 이렇게 됩니다.

“\(x=1\) 근처에서 아주 조금 움직였을 때, 함수값이 얼마나 빠르게 변하냐?”

그 ‘빠르기’가 바로 \( f'(1) \) 입니다.
즉, 미분해서 1을 넣는 문제입니다.

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5️⃣ ✏️ 단계별 계산 풀이

Step 1. 미분하기

$$ f(x)=3x^3+4x+1 $$

미분하면 지수가 앞으로 내려옵니다.

$$ f'(x)=9x^2+4 $$

Step 2. \(x=1\) 대입

$$ f'(1)=9(1)^2+4=13 $$

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6️⃣ ✅ 정답 및 결론

정답: ④ 13

핵심은 이 극한식을 미분계수 \( f'(1) \) 로 곧바로 해석하는 것입니다.

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7️⃣ ⚠️ 자주 하는 실수

1. 직접 전개: \( \lim \)이 보인다고 직접 전개해서 계산하려는 실수
   → 이 문제는 전개가 아니라 해석(=미분계수) 문제입니다.
2. 미분 실수: \( 3x^3 \) 미분에서 \( 9x^2 \)를 틀리게 쓰는 실수
3. 상수 처리: 상수 \( +1 \)을 미분 후에도 남겨두는 실수
   → 상수의 미분은 0입니다.

📄 문제

1. 다음 식의 값은 얼마인가? [2점]

$$ 9^{\frac{1}{4}} \times 3^{-\frac{1}{2}} $$

① 1
② \(\sqrt{3}\)
③ 3
④ \(3\sqrt{3}\)
⑤ 9

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1️⃣ 문제 한 줄 요약

겉으로는 복잡해 보이지만, 밑을 통일하는 순간 지수가 서로 상쇄되는지를 묻는 문제입니다.

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2️⃣ 교과서 정공 풀이 (기본기)

이 문제는 지수법칙의 기본 적용 문제입니다.
핵심은 모든 항을 같은 밑으로 맞추는 것입니다.

• Step 1. 밑 통일하기:
  9를 3의 거듭제곱으로 바꾸면 다음과 같습니다.
  $$ 9 = 3^2 $$
  따라서 식은 이렇게 바뀝니다.
  $$ (3^2)^{\frac{1}{4}} \times 3^{-\frac{1}{2}} $$
• Step 2. 지수 정리하기:
  거듭제곱의 거듭제곱은 지수를 곱합니다.
  $$ (3^2)^{\frac{1}{4}} = 3^{2 \times \frac{1}{4}} = 3^{\frac{1}{2}} $$
• Step 3. 계산하기:
  밑이 같은 곱셈은 지수를 더합니다.
  $$ 3^{\frac{1}{2}} \times 3^{-\frac{1}{2}} = 3^{\frac{1}{2} – \frac{1}{2}} = 3^0 $$
  모든 수의 0제곱은 1입니다.

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3️⃣ 고수 관점 / 구조 통찰

이 문제는 계산을 요구하지 않습니다. 출제자는 이렇게 묻고 있습니다.

“9를 3의 제곱으로 해석할 수 있는가?”

밑을 3으로 통일하는 순간, 다음 두 지수가 만납니다.

$$ +\frac{1}{2} \quad \text{vs} \quad -\frac{1}{2} $$

서로 반대되는 힘이 만나 즉시 상쇄(0)되어 끝납니다.

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4️⃣ 파인만식 설명 (직관 풀이)

분수 지수와 음수 지수 때문에 겁먹지 마세요. 이렇게 생각하면 단순합니다.

• 앞의 놈(\(9^{\frac{1}{4}}\)): “3의 힘을 반 만큼 키우는 것”
• 뒤의 놈(\(3^{-\frac{1}{2}}\)): “3의 힘을 반 만큼 줄이는 것”

즉, 반 만큼 늘린 것과 반 만큼 줄인 것이 만나면 결과는 ‘변화 없음’입니다.
곱하기에서 변화가 없다는 뜻은 값이 1이 된다는 뜻입니다. (본전)

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5️⃣ 정답 및 결론

정답: ① 1

⚠️ 자주 하는 실수

1. 9를 그대로 둠: 밑을 통일하지 않고 계산하려 하면 꼬입니다.
2. 지수 덧셈 실수: 거듭제곱의 거듭제곱 단계에서는 지수를 더하는 게 아니라 곱해야 합니다.
3. 0제곱 착각: \(3^0\)을 0이라고 쓰는 실수를 조심하세요. 답은 1입니다.