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📄 문제

13. 함수 \( f(x)=x^2-4x-3 \)에 대하여 곡선 \( y=f(x) \) 위의 점 \( (1,-6) \)에서의 접선을 \( l \)이라 하고,

함수 \( g(x)=(x^3-2x)f(x) \)에 대하여 곡선 \( y=g(x) \) 위의 점 \( (1,6) \)에서의 접선을 \( m \)이라 하자.

두 직선 \( l, m \)과 \( y \)축으로 둘러싸인 도형의 넓이는? [4점]

① 21
② 28
③ 35
④ 42
⑤ 49

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1️⃣ 💡 문제 한 줄 요약

접선 2개(\( l, m \))를 직선 2개로 만들어 식을 구하고, 그 직선들과 \( y \)축이 만드는 삼각형 넓이를 구하면 끝입니다.

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2️⃣ 📘 교과서 정공 풀이 (기본기)

• 접선: 그 점을 지나면서, 그 점에서의 기울기가 같은 직선
• 기울기: 곡선의 기울기는 미분값으로 구함
• 곱미분: \( g(x) \)는 곱이므로 \( (uv)’=u’v+uv’ \)로 미분
• 넓이: \( \frac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이} \)

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3️⃣ 🧠 고수 관점 / 핵심 통찰

이 문제는 곡선을 그릴 필요가 없습니다. 넓이를 만드는 경계는 오직 직선 3개입니다.

• 직선 \( l \)
• 직선 \( m \)
• \( y \)축 (\( x=0 \))

그래서 해야 할 일은 딱 3개입니다: \( l \) 구하기, \( m \) 구하기, 넓이 구하기.

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4️⃣ 🔥 파인만 교습법 설명 (가장 중요)

여기서 수포자가 가장 많이 묻는 “왜?” 두 가지를 먼저 해결합니다.

✅ [질문 A] 접선은 왜 “기울기가 같아야” 하나요?

접선은 “스치고 지나가는 선”이 아닙니다.
그 점에서 잠깐이라도 곡선에 ‘붙어서’ 같은 방향으로 가는 직선입니다.

만약 기울기가 다르면 한쪽이 더 가파르게 되어 바로 떨어져 버립니다.
즉, 붙어 닿으려면 그 점에서 방향(기울기)이 똑같아야 합니다.

✅ [질문 B] 곱미분은 왜 \( u’v+uv’ \) 인가요?

두 덩어리의 곱 \( u \times v \) 가 변하는 이유는 딱 두 가지입니다.

1. 앞이 변해서: (앞의 변화) × (뒤의 값) = \( u’v \)
2. 뒤가 변해서: (앞의 값) × (뒤의 변화) = \( uv’ \)

현실은 “둘 다 변하므로” 둘을 합쳐야 전체 변화가 됩니다.

$$ (uv)’ = u’v + uv’ $$ (별명: 앞미뒷 + 앞뒷미)

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5️⃣ ✏️ 단계별 계산 풀이

Step 1. \( l \) 구하기 (곡선 \( y=f(x) \)의 접선)

$$ f(x)=x^2-4x-3 $$

미분하면 기울기 함수:

$$ f'(x)=2x-4 $$

점 \( x=1 \)에서 기울기:

$$ f'(1)=2(1)-4=-2 $$

접선 \( l \)은 점 \( (1,-6) \)을 지나고 기울기가 \( -2 \)인 직선입니다.

$$ y-(-6)=-2(x-1) \quad \Rightarrow \quad y=-2x-4 $$

Step 2. \( m \) 구하기 (곡선 \( y=g(x) \)의 접선)

$$ g(x)=(x^3-2x)f(x) $$

전개하지 않고 곱미분으로 \( x=1 \)에서의 값만 구합니다.

$$ g'(x)=(x^3-2x)’f(x)+(x^3-2x)f'(x) $$

$$ = (3x^2-2)f(x) + (x^3-2x)f'(x) $$

\( x=1 \)을 대입합니다.

• \( 3(1)^2-2 = 1 \)
• \( f(1) = -6 \)
• \( 1^3-2(1) = -1 \)
• \( f'(1) = -2 \)

$$ g'(1) = 1 \cdot (-6) + (-1) \cdot (-2) = -6+2 = -4 $$

접선 \( m \)은 점 \( (1,6) \)을 지나고 기울기가 \( -4 \)인 직선입니다.

$$ y-6=-4(x-1) \quad \Rightarrow \quad y=-4x+10 $$

Step 3. \( y \)축과 만나는 점(절편) 2개

\( y \)축은 \( x=0 \)입니다.

• \( l \): \( y=-4 \) \(\rightarrow (0,-4)\)
• \( m \): \( y=10 \) \(\rightarrow (0,10)\)

Step 4. 두 직선 \( l, m \)의 교점

$$ -2x-4=-4x+10 \quad \Rightarrow \quad 2x=14 \quad \Rightarrow \quad x=7 $$

교점의 좌표는 \( (7, -18) \) 입니다.

Step 5. 넓이 구하기 (여기서 “높이=가로거리” 강조)

세 꼭짓점: \( (0,-4), (0,10), (7,-18) \)

• 밑변: \( y \)축 위의 길이 \( 10-(-4)=14 \)
• 높이: \( y \)축에서 교점까지의 가로거리 \(= 7\) (교점의 \( x \)좌표)

$$ \text{넓이} = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 7 = 49 $$

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6️⃣ ✅ 정답 및 결론

정답: ⑤ 49

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7️⃣ ⚠️ 자주 하는 실수

1. 전개병: \( g(x) \)를 전개해서 5차식 만들고 시간/실수 폭발 \(\rightarrow\) 곱미분으로 값만 뽑으면 됩니다.
2. 높이 착각: 높이를 \( y \)좌표로 착각 \(\rightarrow\) 밑변이 \( y \)축이면 높이는 가로거리(\( x \))입니다.

📄 문제

12. 등비수열 \( \{a_n\} \)이

$$ 2(a_1+a_4+a_7)=6, \qquad a_4+a_7+a_{10}=6 $$

을 만족시킬 때, \( a_{10} \)의 값은? [4점]

① \( \frac{22}{7} \)
② \( \frac{24}{7} \)
③ \( \frac{26}{7} \)
④ \( \frac{30}{7} \)
⑤ \( \frac{32}{7} \)

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1️⃣ 💡 문제 한 줄 요약

이 문제는 공비 \( r \)을 억지로 구하는 문제가 아니라, “3칸 점프할 때마다 \( (\times r^3) \)”라는 사실을 이용해 두 식을 나눌 때 \( r^3 \)가 자연스럽게 튀어나오게 만드는 문제입니다.

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2️⃣ 📘 교과서 정공 풀이 (기본기)

등비수열의 핵심은 딱 하나입니다.

“한 칸 뒤로 갈 때마다 같은 수 \( r \)을 한 번 곱한다.”

• 1칸 뒤: \( \times r \)
• 2칸 뒤: \( \times r^2 \) (r을 두 번 곱함)
• 3칸 뒤: \( \times r^3 \) (r을 세 번 곱함)

이 문제의 항들은 \( 1 \to 4 \to 7 \to 10 \) 처럼 항 번호가 3씩 뛰므로, 핵심 변수는 \( r \)이 아니라 \( r^3 \) 입니다.

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3️⃣ 🧠 고수 관점 / 핵심 통찰

두 식의 덩어리를 비교해 봅시다.

$$ (a_1+a_4+a_7) \quad \text{와} \quad (a_4+a_7+a_{10}) $$

이 두 덩어리는 모양이 똑같습니다. 다만 두 번째 덩어리는 첫 번째 덩어리에서 모든 항이 “3칸씩 뒤로 이동한 모습”입니다.

등비수열에서는 3칸 뒤로 갈 때마다 \( \times r^3 \)이므로 두 번째 덩어리는 첫 번째 덩어리의 \( r^3 \)배가 됩니다.
그래서 두 식을 나누면 “같은 덩어리”가 약분되고, \( r^3 \)만 남습니다.

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4️⃣ 🔥 파인만 교습법 설명 (직관)

수포자 기준으로 말로만 풀면 이렇습니다.

• \( a_1 \)에서 시작해서
• 3칸 점프하면 \( a_4 \)
• 또 3칸 점프하면 \( a_7 \)
• 또 3칸 점프하면 \( a_{10} \)

등비수열은 점프할 때마다 같은 배율로 커집니다.
그런데 이 문제는 “한 칸”이 아니라 “세 칸”씩 점프하니까,

세 칸 점프 한 번 = 공비 \( r \)을 세 번 곱한 것 = \( \times r^3 \)

이게 보이면, 나머지는 숫자놀이(약분)입니다.

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5️⃣ ✏️ 단계별 계산 풀이

Step 1. “지수는 몇 칸 이동했는지”를 이용해 항을 표현

✅ [수포자 생존 키트 1] 지수 = 칸 수

등비수열 공식 \( a_n = a_1 r^{n-1} \) 에서 \( n-1 \)은 “첫째항에서 몇 칸 이동했는지”입니다.

• \( a_4 \): 3칸 이동 \(\rightarrow r\)을 3번 곱함 \(\rightarrow r^3\)
• \( a_7 \): 6칸 이동 \(\rightarrow r\)을 6번 곱함 \(\rightarrow r^6\)

• \( a_4 = a_1 r^3 \)
• \( a_7 = a_1 r^6 \)
• \( a_{10} = a_1 r^9 \)

Step 2. 첫 번째 조건 정리

$$ 2(a_1+a_4+a_7)=6 $$

괄호 안부터 정리합니다.

$$ a_1+a_4+a_7 = a_1+a_1r^3+a_1r^6 = a_1(1+r^3+r^6) $$

따라서

$$ 2a_1(1+r^3+r^6)=6 \quad \Rightarrow \quad a_1(1+r^3+r^6)=3 \quad (\text{식 ①}) $$

Step 3. 두 번째 조건 정리

$$ a_4+a_7+a_{10}=6 $$

$$ a_1r^3+a_1r^6+a_1r^9 = a_1r^3(1+r^3+r^6) $$

따라서

$$ a_1r^3(1+r^3+r^6)=6 \quad (\text{식 ②}) $$

Step 4. (식 ②)를 (식 ①)로 나누기 — “같은 덩어리는 지워진다”

(식 ①)과 (식 ②)에는 공통으로 \( a_1(1+r^3+r^6) \) 라는 똑같은 덩어리가 들어 있습니다.
그래서 나누면 그 덩어리는 약분되어 사라지고, 남는 것은 \( r^3 \)뿐입니다.

$$ \frac{a_1r^3(1+r^3+r^6)}{a_1(1+r^3+r^6)} = \frac{6}{3} $$

$$ \Rightarrow r^3=2 $$

Step 5. \( a_1 \) 구하기

(식 ①)에 \( r^3=2 \)를 넣습니다.

$$ a_1(1+r^3+r^6)=3 $$

여기서 \( r^6 = (r^3)^2 = 2^2 = 4 \) 입니다.

$$ a_1(1+2+4)=3 \quad \Rightarrow \quad 7a_1=3 \quad \Rightarrow \quad a_1=\frac{3}{7} $$

Step 6. \( a_{10} \) 계산

$$ a_{10} = a_1 r^9 $$

여기서도 “3칸 점프”를 이용합니다. \( r^9 = (r^3)^3 \) 입니다.

$$ a_{10} = \frac{3}{7} \cdot (r^3)^3 = \frac{3}{7} \cdot 2^3 = \frac{3}{7} \cdot 8 = \frac{24}{7} $$

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6️⃣ ✅ 정답 및 결론

정답: ② \( \frac{24}{7} \)

핵심 정리:

• 지수는 ‘몇 칸 이동했는지’를 뜻한다.
• 이 문제는 3칸씩 이동하므로 \( r^3 \)로 묶고 계산한다.
• 두 식을 나눌 때 같은 덩어리가 약분된다는 점을 이용한다.

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7️⃣ ⚠️ 자주 하는 실수

1. 무리한 계산: \( r \)을 직접 구하려고 세제곱근(\( \sqrt[3]{2} \))을 꺼내는 실수 \(\rightarrow\) 이 문제는 \( r^3 \)만 있으면 끝납니다.
2. 지수 착각: “3칸 이동”을 무시하고 \( a_4=a_1r \)처럼 쓰는 실수 \(\rightarrow\) 3칸 이동이므로 \( r^3 \)입니다.
3. 약분 실패: 나눗셈에서 공통 덩어리를 못 보고 계산이 길어지는 실수.

📄 문제

11. 시각 \( t=0 \)일 때 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 \( P \)가 있다. 실수 \( k \)에 대하여 시각 \( t(t \ge 0) \)일 때 점 \( P \)의 속도 \( v(t) \)가

$$ v(t)=t^2-kt+4 $$

이다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

<보기>
ㄱ. \( k=0 \)이면, 시각 \( t=1 \)일 때 점 \( P \)의 위치는 \( \frac{13}{3} \)이다.
ㄴ. \( k=3 \)이면, 출발한 후 점 \( P \)의 운동 방향이 한 번 바뀐다.
ㄷ. \( k=5 \)이면, 시각 \( t=0 \)에서 \( t=2 \)까지 점 \( P \)가 움직인 거리는 \( 3 \)이다.

① ㄱ
② ㄱ, ㄴ
③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

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1️⃣ 💡 문제 한 줄 요약

• 위치: 속도를 시간 동안 “계속 더한 값” → 적분
• 방향 변화: 속도가 (+)에서 (-)로 바뀌는가? → 속도=0 순간 존재?
• 이동거리: 유턴하면 “전진거리 + 후진거리”로 구간을 나눠 더하기

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2️⃣ 📘 교과서 정공 풀이 (기본기)

(1) 위치는 “속도의 누적” → 적분

속도는 “1초에 얼마나 움직였는지”입니다. 0초부터 \( t \)초까지의 위치 변화는 그동안의 속도를 계속 더한 값이고, 그걸 적분으로 씁니다. (원점 출발이므로 \( x(0)=0 \))

$$ x(t)=\int_{0}^{t} v(s) ds $$

(2) 방향이 바뀌려면 속도는 0을 지나야 함

전진에서 후진으로 바뀌려면 중간에 반드시 “멈춤”이 있어야 합니다.

방향 변화 \(\Rightarrow\) \( v(t)=0 \) 되는 순간 존재

(3) 이동거리는 “되돌아와도 더한다”

이동거리는 최종 위치가 아니라 움직인 거리의 총합입니다. 유턴하면 구간을 나눠서 더합니다.

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3️⃣ 🧠 고수 관점 / 핵심 통찰

보기 ㄱ, ㄴ, ㄷ는 사실 각각 다른 질문입니다.

• ㄱ: “1초 뒤 어디냐?” → 적분으로 위치
• ㄴ: “유턴 했냐?” → 속도 0 존재 여부
• ㄷ: “총 몇 만큼 움직였냐?” → 유턴이면 구간 분할

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4️⃣ 🔥 파인만 교습법 설명 (자동차 비유)

속도는 계기판입니다.

• \( v(t)>0 \) : 앞으로 (전진)
• \( v(t)<0 \) : 뒤로 (후진)
• \( v(t)=0 \) : 멈춤 (유턴 가능)

위치는 “그동안의 속도를 쌓은 것”, 이동거리는 “앞으로 간 만큼 + 뒤로 간 만큼”입니다.

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5️⃣ ✏️ 단계별 계산 풀이

✅ 공통 준비: 위치 \( x(t) \)부터 만든다

원점에서 출발했으므로 적분합니다.

$$ x(t)=\int_{0}^{t}(s^2-ks+4) ds $$

여기서 수포자가 반드시 묻는 2가지를 먼저 해결하고 갑니다.

✅ [수포자 생존 키트 1] 왜 3으로 나누나요?

우리는 “미분”을 이렇게 씁니다.

• \( s^3 \)을 미분하면 \( 3s^2 \)가 됩니다. (앞에 3이 붙음)
• 그런데 우리는 \( 3s^2 \)가 아니라 \( s^2 \)가 필요합니다.

그래서 방법은 하나입니다.
“미분하면 3이 붙을 거니까, 미리 3으로 나눠 둔다.”

$$ \frac{s^3}{3} $$

이걸 미분하면 앞에 붙는 3과, 미리 나눠둔 3이 서로 사라져서 딱 \( s^2 \)가 됩니다.
그래서 \( \int s^2 ds = \frac{s^3}{3} \) 이라고 쓰는 겁니다.

✅ [수포자 생존 키트 2] \([ \dots ]_0^t\) 읽는 법

이 기호는 뜻이 하나입니다.

“그 식에 \( t \)를 넣어 본 값 − 그 식에 0을 넣어 본 값”

✅ 이제 적분을 실제로 계산한다

$$ x(t) = \left[\frac{s^3}{3}-\frac{k s^2}{2}+4s\right]_{0}^{t} $$

이제 위에서 말한 대로 그대로 합니다.

1. \( t \)를 넣는다: \( \frac{t^3}{3}-\frac{k t^2}{2}+4t \)
2. 0을 넣는다: 0
3. 빼준다: \( (\dots) – 0 \)

따라서 위치 함수는 다음과 같습니다.

$$ x(t)=\frac{t^3}{3}-\frac{k t^2}{2}+4t $$

✅ ㄱ 확인 (\( k=0 \))

\( k=0 \)이면,

$$ x(t)=\frac{t^3}{3}+4t $$

$$ x(1)=\frac{1}{3}+4=\frac{13}{3} $$

따라서 ㄱ은 참입니다.

✅ ㄴ 확인 (\( k=3 \), 방향이 한 번 바뀌는가?)

\( k=3 \)이면,

$$ v(t)=t^2-3t+4 $$

방향이 바뀌려면 \( v(t)=0 \)이 되는 순간이 있어야 합니다. 판별식을 써봅니다.

$$ \Delta =(-3)^2-4(1)(4)=9-16=-7 < 0 $$

판별식이 음수면 0이 되는 순간이 없습니다.
즉, 멈추지 않으니 유턴도 없습니다. 따라서 ㄴ은 거짓입니다.

✅ ㄷ 확인 (\( k=5 \), 0~2초 이동거리)

\( k=5 \)이면,

$$ v(t)=t^2-5t+4=(t-1)(t-4) $$

\( t=1 \)에서 속도가 0이 됩니다. (유턴 발생!)

• 0~1초: 전진
• 1~2초: 후진

위치 함수 \( x(t)=\frac{t^3}{3}-\frac{5t^2}{2}+4t \) 에 대입합니다.

$$ x(1)=\frac{1}{3}-\frac{5}{2}+4=\frac{11}{6} $$

$$ x(2)=\frac{8}{3}-10+8=\frac{2}{3} $$

(1) 전진거리 (0~1초): \( \frac{11}{6} \)

(2) 후진거리 (1~2초): 차이의 절댓값

$$ \left|\frac{2}{3}-\frac{11}{6}\right| = \left|\frac{4}{6}-\frac{11}{6}\right| = \frac{7}{6} $$

(3) 총 이동거리:

$$ \frac{11}{6}+\frac{7}{6}=\frac{18}{6}=3 $$

따라서 ㄷ은 참입니다.

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6️⃣ ✅ 정답 및 결론

참인 것은 ㄱ, ㄷ (정답: ③)

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7️⃣ ⚠️ 자주 하는 실수

1. 이동거리 혼동: 이동거리를 최종 위치로 착각함
2. 부호 체크 누락: 방향 변화에서 \( v(t)=0 \)을 확인하지 않음
3. 구간 미분할: 유턴했는데 구간을 나누지 않음
4. 기호 공포: \( [\dots]_0^t \)를 “새로운 공식”으로 착각 (사실은 위 넣고 – 아래 넣기)

📄 문제

10. 상수 \( a(a>1) \)에 대하여 곡선 \( y=a^x-2 \) 위의 점 중 제1사분면에 있는 점 \( A \)를 지나고 \( y \)축에 평행한 직선이 \( x \)축과 만나는 점을 \( B \), 곡선 \( y=a^x-2 \)의 점근선과 만나는 점을 \( C \)라 하자.

\( \overline{AB}=\overline{BC} \)이고 삼각형 \( AOC \)의 넓이가 \( 8 \)일 때, \( a\times \overline{OB} \)의 값은? (단, \( O \)는 원점이다.) [4점]

① \( 2^{\frac{13}{6}} \)
② \( 2^{\frac{7}{3}} \)
③ \( 2^{\frac{5}{2}} \)
④ \( 2^{\frac{8}{3}} \)
⑤ \( 2^{\frac{17}{6}} \)

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1️⃣ 문제 한 줄 요약

점 \( A \)에서 내린 세로선 위에서 \( B \)는 \( y=0 \), \( C \)는 점근선 \( y=-2 \)에 고정이므로 \( \overline{BC}=2 \)가 항상 일정합니다.

따라서 \( \overline{AB}=\overline{BC} \)는 \( A \)의 높이를 바로 \( y=2 \)로 고정시키고, 넓이 \( 8 \)로 가로거리 \( \overline{OB} \)를 정하면 끝나는 문제입니다.

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2️⃣ 📘 교과서 정공 풀이 (기본기)

1. 점 \( A \)를 \( A(t, a^t-2) \)로 둔다.
2. \( A \)를 지나는 \( y \)축에 평행한 직선은 \( x=t \)이다.
3. \( B(t, 0) \), \( C(t, -2) \)를 잡는다.
4. 조건 \( \overline{AB}=\overline{BC} \)로 \( a^t \)를 고정한다.
5. 넓이 조건으로 \( t \)를 고정한다.
6. 마지막에 \( a\times \overline{OB} \)를 계산한다.

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3️⃣ 🧠 고수 관점 / 핵심 통찰

점근선을 “외우는 공식”으로 처리하면 수포자는 바로 멈춥니다.
그래서 점근선은 왜 그 선을 따라가는지로 이해해야 합니다.

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4️⃣ 🔥 파인만 교습법 설명 (가장 중요)

✅ [수포자 생존 키트 1] 점근선이 뭔가요?

먼저 기본형 \( y=a^x \)를 생각합니다. (\( a>1 \))

• \( x \)가 오른쪽으로 가면 값이 커집니다.
• \( x \)가 왼쪽으로 아주 많이 가면(\( -\infty \)), \( a^x \)는 0에 점점 가까워지지만 0이 되지는 않습니다.

즉, 그래프는 \( y=0 \) (x축)을 끝없이 따라가듯이 붙습니다. 그래서 \( y=0 \)이 점근선입니다.

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그럼 \( y=a^x-2 \)는?
전체가 아래로 2만큼 내려갔으니, 점근선도 똑같이 내려갑니다.
$$ \text{점근선: } y=-2 $$

✅ “세로 엘리베이터”로 좌표 잡기

점 \( A \)에서 \( y \)축과 평행한 직선(세로선)을 그으면 그 선은 “엘리베이터”처럼 위아래로만 움직이는 선입니다.

• 그 선이 \( x \)축(\( y=0 \))을 만나는 점이 \( B \) (0층)
• 그 선이 점근선(\( y=-2 \))을 만나는 점이 \( C \) (지하 2층)

그래서 \( B \)에서 \( C \)까지는 언제나 2칸입니다.

$$ \overline{BC} = 0-(-2)=2 $$

문제는 \( \overline{AB}=\overline{BC} \)라 했으니, \( A \)는 0층에서 위로도 2칸 올라간 곳이어야 합니다.
따라서 \( A \)의 높이는 무조건 고정됩니다.

$$ y=2 $$

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5️⃣ ✏️ 단계별 계산 풀이

Step 1. 점 \( A \)를 좌표로 두기

곡선 위의 점이므로 \( A \)를 다음과 같이 둡니다.

$$ A(t, a^t-2) $$

\( A \)를 지나는 세로선은 \( x=t \) 입니다.
따라서 \( B(t, 0) \), \( C(t, -2) \) 입니다.

Step 2. 길이 조건 \( \overline{AB}=\overline{BC} \)로 \( a^t \) 구하기

세 점이 같은 세로선 위에 있으므로 “거리”는 세로 차이입니다.

$$ \overline{BC}=0-(-2)=2 $$

$$ \overline{AB}=(a^t-2)-0=a^t-2 $$

조건이 같다고 했으므로,

$$ a^t-2=2 \quad \Rightarrow \quad a^t=4 $$

따라서 실제로 \( A \)의 좌표는 \( (t, 2) \)로 확정입니다.

Step 3. 넓이 조건으로 \( t \) 구하기

이제 좌표는 \( O(0,0), A(t,2), C(t,-2) \) 입니다.

✅ [수포자 생존 키트 2] 서 있는 삼각형 넓이

\( A \)와 \( C \)는 \( x \)가 같아서 \( \overline{AC} \)는 세로선입니다.

• 밑변(\( \overline{AC} \)): \( 2 – (-2) = 4 \)
• 높이: 원점에서 직선 \( x=t \)까지의 거리 \(\rightarrow\) 그냥 가로 길이 \( t \)

$$ \text{넓이} = \frac{1}{2} \times 4 \times t = 2t $$

문제에서 넓이가 8이라고 했으므로,

$$ 2t=8 \quad \Rightarrow \quad t=4 $$

따라서 \( \overline{OB} = 4 \) 입니다.

Step 4. \( a \)와 \( a \times \overline{OB} \) 계산

우리는 이미 \( a^t=4 \) 이고 \( t=4 \) 이므로 다음을 압니다.

$$ a^4=4 $$

✅ [수포자 생존 키트 3] 지수 계산 천천히 보기

1. \( a^4=4 \) 는 “\( a \)를 4번 곱하면 4″라는 뜻입니다.
2. 그런데 \( 4=2^2 \) 이죠? 즉, \( a^4 = 2^2 \)
3. 양쪽의 지수를 4로 나누면 \( a \)가 나옵니다.

$$ a = 2^{\frac{2}{4}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2} $$

이제 구하는 값을 계산합니다.

$$ a \times \overline{OB} = \sqrt{2} \times 4 $$

\( 4=2^2 \)이고 \( \sqrt{2}=2^{1/2} \) 이므로,

$$ \sqrt{2} \times 4 = 2^{\frac{1}{2}} \times 2^2 = 2^{\left(\frac{1}{2}+2\right)} = 2^{\frac{5}{2}} $$

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6️⃣ ✅ 정답 및 결론

정답: ③ \( 2^{\frac{5}{2}} \)

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7️⃣ ⚠️ 자주 하는 실수

1. 점근선 혼동: \( a^x \)는 왼쪽으로 가면 0에 가까워지므로 점근선이 \( y=0 \), 전체를 \(-2\)만큼 내리면 점근선도 \( y=-2 \).
2. 길이 착각: \( B \)는 \( y=0 \), \( C \)는 \( y=-2 \)라서 \( \overline{BC} \)는 항상 2.
3. 계산 포기: \( a^4=4 \)에서 멈춤 \(\rightarrow\) \( 4=2^2 \)로 바꾸면 풀립니다.

📄 문제

9. 상수 \( a \)에 대하여 함수 \( f(x) \)를

$$ f(x) = x^3 + 3ax^2 – 9a^2x + 4 $$

라 하자. 직선 \( y=5 \)가 곡선 \( y=f(x) \)에 접할 때, \( f(2) \)의 값은? [4점]

① 11
② 12
③ 13
④ 14
⑤ 15

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1️⃣ 문제 한 줄 요약

“\( y=5 \)에 접한다”는 말은, 어떤 \( x=t \)에서

• 높이가 5이고 (\( f(t)=5 \))
• 그 순간 그래프가 평평하다 (\( f'(t)=0 \))

이 두 가지가 동시에 일어난다는 뜻입니다.

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2️⃣ 📘 교과서 정공 풀이 (기본기)

이 문제는 “접선”의 정의를 그대로 쓰는 문제입니다.

직선 \( y=5 \)는 항상 높이가 5인 선입니다.
그리고 이 선은 수평선이므로 기울기 = 0입니다.

곡선이 이 수평선에 “접한다”는 것은 그 지점에서 곡선도 같은 높이(5)에 있으면서 같은 기울기(0)를 가져야 한다는 뜻입니다.
그래서 접점의 \( x \)값을 \( t \)라고 두면:

$$ f(t)=5, \quad f'(t)=0 $$

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3️⃣ 🧠 고수 관점 / 구조 통찰

수포자가 제일 많이 하는 실수는 “접점 \( t \)를 구하는 게 목적”이라고 착각하는 것입니다.
하지만 이 문제의 진짜 목표는 \( f(2) \)입니다.

\( t \)는 단지 \( a \)를 잡기 위한 도구입니다.
즉, “후보가 여러 개 나와도” 괜찮습니다. 우리는 진짜로 \( y=5 \)에 닿는 후보를 찾아서 \( a \)를 결정하면 됩니다.

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4️⃣ 🔥 파인만 교습법 설명 (정말 수포자 기준으로)

1) “접한다”를 사람말로 풀면

직선 \( y=5 \)는 “높이가 5인 천장”입니다.
곡선이 천장에 접한다는 건 이런 상황입니다.

“그래프가 천장에 딱 한 번 닿는다”

근데 그냥 비스듬히 스치고 지나가면 “접한다”가 아니라 “지나간다”입니다.
“접한다”는 건 닿는 순간, 그 자리에 잠깐 붙어 있는 느낌입니다.
그래서 접점에서는 반드시 두 가지가 같이 일어납니다.

(A) 높이가 같아야 닿는다

천장이 5면, 닿는 점의 그래프 높이도 5여야 합니다.

$$ \Rightarrow f(t)=5 $$

(B) 붙으려면 평평해야 한다

천장은 수평이니까(기울기 0), 곡선도 그 순간에는 수평이어야 비스듬히 지나가지 않고 “붙어서” 닿습니다.

$$ \Rightarrow f'(t)=0 $$

그래서 접점에서는 무조건 두 개가 동시에 성립합니다.

$$ f(t)=5, \quad f'(t)=0 $$

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5️⃣ ✏️ 단계별 계산 풀이 (막히는 곳 전부 설명)

Step 1. 먼저 기울기 식 \( f'(x) \)를 만든다 (미분)

$$ f(x)=x^3+3ax^2-9a^2x+4 $$

미분은 “기울기(그래프의 경사)”를 만드는 도구입니다. 우리는 “평평한 순간”을 찾고 싶으니 미분이 필요합니다.
각 항을 하나씩 미분합니다. (여기서 \( a \)는 숫자처럼 상수로 취급합니다.)

• \( x^3 \rightarrow 3x^2 \)
• \( 3ax^2 \rightarrow 3a \cdot 2x = 6ax \)
• \( -9a^2x \rightarrow -9a^2 \)
• \( +4 \rightarrow 0 \)

따라서

$$ f'(x)=3x^2+6ax-9a^2 $$

Step 2. “평평” 조건을 먼저 쓴다: \( f'(t)=0 \)

접점의 \( x \)값을 \( t \)라 두고:

$$ f'(t)=0 \quad \Rightarrow \quad 3t^2+6at-9a^2=0 $$

여기서 3은 모든 항에 공통으로 있으니 나누어 단순하게 합니다.

$$ t^2+2at-3a^2=0 $$

Step 3. 여기서 인수분해를 왜 하냐? (진짜 이유)

수포자 입장에서 “인수분해”는 기술처럼 보이지만, 목적은 간단합니다.

“우리는 지금 이 식이 0이 되는 \( t \)를 찾고 싶습니다.”

그리고 우리가 아는 아주 쉬운 원리 하나: 곱해서 0이면, 둘 중 하나는 0이다.
그래서 목표는 이 2차식을 (무언가)×(무언가) 꼴로 바꾸면 언제 0이 되는지 바로 알 수 있다는 것입니다.

Step 4. 인수분해를 “맞춰보기 + 검산”으로 따라간다

$$ t^2+2at-3a^2 $$

맨 앞이 \( t^2 \) → \( (t \dots)(t \dots) \) 형태일 가능성이 큽니다.
마지막이 \( -3a^2 \) → 부호가 서로 반대이고, \( a \)가 들어갑니다.
그래서 후보는 \( (t \pm a)(t \pm 3a) \) 느낌입니다.

이 중에서 가운데 항이 \( +2at \)가 되는 조합을 고르면 됩니다.

$$ (t-a)(t+3a) $$

를 실제로 곱해 봅니다. (검산)

• 첫 항: \( t \cdot t = t^2 \)
• 가운데 항: \( t \cdot 3a + (-a) \cdot t = 3at – at = 2at \)
• 마지막: \( (-a) \cdot (3a) = -3a^2 \)

정확히 같습니다. 따라서,

$$ (t-a)(t+3a)=0 $$

“곱해서 0이면 하나는 0”을 적용하면:

$$ t-a=0 \Rightarrow t=a \quad \text{또는} \quad t+3a=0 \Rightarrow t=-3a $$

즉, 평평해지는 지점(접점 후보)가 두 개 나옵니다.

Step 5. 이제 “높이” 조건 \( f(t)=5 \)로 진짜 후보를 고른다

이제부터가 진짜 접선 조건입니다.
평평하기만 하면 안 되고, 높이가 5여야 접합니다.
즉, 위에서 나온 후보를 둘 다 넣어 봐서 정말 \( f(t)=5 \)가 되는 쪽을 고릅니다.

(1) 후보 \( t=a \)를 넣어 본다

$$ f(a) = a^3 + 3a \cdot a^2 – 9a^2 \cdot a + 4 $$

$$ = a^3 + 3a^3 – 9a^3 + 4 = -5a^3 + 4 $$

접해야 하므로 \( f(a)=5 \):

$$ -5a^3+4=5 \quad \Rightarrow \quad -5a^3=1 \quad \Rightarrow \quad a^3=-\frac{1}{5} $$

(2) 후보 \( t=-3a \)도 넣어 본다

$$ f(-3a) = (-3a)^3 + 3a(-3a)^2 – 9a^2(-3a) + 4 $$

$$ = -27a^3 + 27a^3 + 27a^3 + 4 = 27a^3 + 4 $$

접해야 하므로 \( f(-3a)=5 \):

$$ 27a^3+4=5 \quad \Rightarrow \quad 27a^3=1 \quad \Rightarrow \quad a^3=\frac{1}{27} $$

$$ \Rightarrow a=\frac{1}{3} $$

Step 6. 이제 목표 \( f(2) \)를 계산한다

이제 \( a=\frac{1}{3} \)을 원래 함수에 넣고 \( x=2 \)를 계산합니다.

$$ f(x) = x^3 + 3ax^2 – 9a^2x + 4 $$

하나씩 계산을 “실수 안 나게” 정리해 보겠습니다.

• ① \( x^3 \rightarrow 2^3=8 \)
• ② \( 3ax^2 \rightarrow 3a=1 \text{이므로 } 1 \cdot 2^2=4 \)
• ③ \( -9a^2x \rightarrow -9a^2=-1 \text{이므로 } -1 \cdot 2=-2 \)
• ④ 마지막 \( +4 \)

이제 전부 더하면:

$$ f(2) = 8 + 4 – 2 + 4 = 14 $$

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6️⃣ ✅ 정답 및 결론

정답: ④ 14

이 문제의 핵심 문장은 이것 하나로 정리됩니다.

접한다 = (높이 같다) + (기울기 같다)
$$ f(t)=5, \quad f'(t)=0 $$

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7️⃣ ⚠️ 자주 하는 실수

1. 개념 혼동: “접한다”를 “만난다”로 착각
   → 만나는 건 \( f(t)=5 \)만으로도 가능하지만, 접하는 건 기울기까지 같아야 합니다.
2. 기울기 0: 수평선의 기울기를 몰라서 흔들림
   → \( y=5 \)는 어떤 \( x \)에서도 높이가 5로 일정하므로 기울기 0 (평평)입니다.
3. 인수분해 막힘: 인수분해를 ‘마술’로 넘어가다 막힘
   → 목적은 0이 되는 \( t \)를 찾는 것이고, 곱으로 바꾸면 “하나가 0”이라는 쉬운 원리로 풀립니다.

📄 문제

8. \( \sin\theta + 3\cos\theta = 0 \) 이고, \( \cos(\pi-\theta) > 0 \) 일 때

$$ \sin\theta $$

의 값은? [3점]

① \( \frac{3\sqrt{10}}{10} \)
② \( \frac{\sqrt{10}}{5} \)
③ \( 0 \)
④ \( -\frac{\sqrt{10}}{5} \)
⑤ \( -\frac{3\sqrt{10}}{10} \)

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1️⃣ 문제 한 줄 요약

첫 번째 식으로 사인과 코사인의 크기 관계를 만들고, 두 번째 조건으로 방향(부호)을 정한 뒤, 항등식으로 실제 값을 구하는 문제입니다.

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2️⃣ 📘 교과서 정공 풀이 (기본기)

이 문제의 흐름은 다음 세 단계입니다.

1. \( \sin\theta + 3\cos\theta = 0 \) → \( \sin\theta \)와 \( \cos\theta \)의 비(관계) 만들기
2. \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \) → 값의 크기 계산
3. \( \cos(\pi-\theta) > 0 \) → 부호(±) 결정

각을 구할 필요는 없고, 값과 방향만 정확히 잡으면 됩니다.

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3️⃣ 🧠 고수 관점 / 구조 통찰

이 문제는 삼각함수를 “각”이 아니라 “방향을 가진 길이”로 볼 수 있는지를 묻습니다.

• 첫 식 → 얼마나 큰가 (비율)
• 둘째 조건 → 어느 쪽인가 (플러스/마이너스)

이 역할 분담만 지키면 계산이 짧아집니다.

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4️⃣ 🔥 파인만 교습법 설명 (직관)

① 첫 식이 말해주는 것

$$ \sin\theta + 3\cos\theta = 0 $$

이 말은 이렇게 해석합니다.

“두 수를 더했더니 0이 됐다
→ 크기는 맞고, 방향은 반대다”

즉, \( \sin\theta \)는 \( \cos\theta \)의 3배 크기이고 부호는 서로 반대입니다.
그래서 자연스럽게 다음 식이 나옵니다.

$$ \sin\theta = -3\cos\theta $$

② 두 번째 조건이 진짜 핵심: 방향(부호)

이제 이 조건을 봅니다.

$$ \cos(\pi-\theta) > 0 $$

여기서 공식 대신 말(언어)로 풀어봅시다.

• 코사인은 무엇인가?
  → ‘가로 방향 값’입니다. (오른쪽+, 왼쪽-)
• \( \pi-\theta \)는 무슨 뜻인가?
  → \( \pi \)는 180°입니다. 즉, “180°에서 \( \theta \)만큼 뒤로 온 위치”입니다.
  → 이것은 원래 각 \( \theta \)를 좌우로 뒤집은(반전) 위치입니다.

좌우로 뒤집으면 무슨 일이 생길까요?

• 위/아래 방향(사인)은 그대로
• 왼쪽/오른쪽 방향(코사인)은 반대로 바뀜

그래서 결론은 이겁니다.

$$ \cos(\pi-\theta) = -\cos\theta $$

③ 이제 조건을 그대로 적용

문제에서 \( \cos(\pi-\theta) > 0 \) 라고 했으므로,

$$ -\cos\theta > 0 \quad \Rightarrow \quad \cos\theta < 0 $$

👉 코사인은 음수입니다.
그럼 \( \sin\theta = -3\cos\theta \)에서 음수에 마이너스를 곱하므로,

👉 사인은 양수입니다.

🍯 [보너스] 3초 만에 부호 찾는 법 (얼싸안코)

위 논리가 너무 어렵다면, 이것만 기억하세요!

사분면마다 누구네 땅(양수)인지 정해져 있습니다.

“얼(All) · 싸(Sin) · 안(Tan) · 코(Cos)”

• 1사분면 (얼): 전부 다(All) 양수
• 2사분면 (싸): 사인(Sin)만 양수 ← 이 문제!
• 3사분면 (안): 탄젠트(Tan)만 양수
• 4사분면 (코): 코사인(Cos)만 양수

💡 적용: \( \pi(180^\circ) \)에서 조금 뺐으니 2사분면입니다.
2사분면 주인은 사인(Sin)입니다.
그래서 사인은 무조건 양수(+)입니다.

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5️⃣ ✏️ 단계별 계산 풀이

Step 1. 관계식 정리

$$ \sin\theta = -3\cos\theta $$

Step 2. 항등식으로 크기 구하기

항상 성립하는 식 \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \) 에 대입합니다.

$$ (-3\cos\theta)^2 + (\cos\theta)^2 = 1 $$

$$ 9\cos^2\theta + \cos^2\theta = 1 $$

$$ 10\cos^2\theta = 1 \quad \Rightarrow \quad \cos^2\theta = \frac{1}{10} $$

따라서 크기는 \( |\cos\theta| = \frac{1}{\sqrt{10}} \) 입니다.

Step 3. 부호 반영

앞에서 \( \cos\theta < 0 \)임을 알았으므로,

$$ \cos\theta = -\frac{1}{\sqrt{10}} $$

Step 4. \( \sin\theta \) 계산

$$ \sin\theta = -3\cos\theta = -3\left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right) = \frac{3}{\sqrt{10}} $$

분모의 루트를 정리(유리화)하면,

$$ \sin\theta = \frac{3\sqrt{10}}{10} $$

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6️⃣ ✅ 정답 및 결론

정답: ① \( \frac{3\sqrt{10}}{10} \)

핵심 정리:

• 첫 식은 ‘크기 관계’를 주고,
• 두 번째 식은 ‘방향(부호)’을 정한다.

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7️⃣ ⚠️ 자주 하는 실수

1. 변환 실수: \( \cos(\pi-\theta) \)를 그냥 \( \cos\theta \)로 보는 실수
   → 실제로는 좌우 반전(부호 반대)입니다.
2. 부호 누락: \( \cos^2\theta \)까지만 구하고 끝내는 실수
   → 제곱은 부호를 없애므로 조건으로 반드시 ±를 결정해야 합니다.

📄 문제

7. 두 곡선 \( y=x^2+3, \quad y=-\frac{1}{5}x^2+3 \) 과 직선 \( x=2 \) 로 둘러싸인 부분의 넓이는? [3점]

① \( \frac{18}{5} \)
② \( \frac{7}{2} \)
③ \( \frac{17}{5} \)
④ \( \frac{33}{10} \)
⑤ \( \frac{16}{5} \)

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1️⃣ 문제 한 줄 요약

이 문제는 두 곡선 사이에 생기는 세로 틈의 크기를 \( x=0 \)부터 \( x=2 \)까지 차곡차곡 모아 넓이로 바꾸는 문제입니다.

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2️⃣ 📘 교과서 정공 풀이 (기본기)

① 넓이는 “위 − 아래”에서 시작한다

곡선 두 개로 둘러싸인 넓이를 구할 때 가장 중요한 원칙은 하나입니다.

“같은 \( x \)에서
위쪽 그래프의 높이 − 아래쪽 그래프의 높이”

이렇게 하면 그 순간의 세로 길이(틈)가 나오고, 이 틈을 계속 더한 값이 바로 넓이입니다.

② 어디서부터 어디까지 더할지 정해야 한다

넓이를 더하려면 구간이 필요합니다.

• 문제에 나온 직선 \( x=2 \) → 오른쪽 경계
• 왼쪽 경계 → 두 곡선이 서로 만나는 지점

따라서, 먼저 교점을 찾습니다.

③ 두 곡선의 교점 찾기 (왼쪽 끝)

두 곡선의 \( y \)값이 같을 때가 교점입니다.

$$ x^2+3 = -\frac{1}{5}x^2+3 $$

여기서 중요한 관찰 하나: 양쪽에 (+3)이 똑같이 있으므로 서로 지워도 됩니다.

$$ x^2 = -\frac{1}{5}x^2 $$

정리하면,

$$ x^2+\frac{1}{5}x^2=0 \quad \Rightarrow \quad \frac{6}{5}x^2=0 \quad \Rightarrow \quad x=0 $$

즉, 두 곡선은 \( x=0 \)에서 만납니다.
👉 넓이를 구할 구간은 \( x=0 \) 부터 \( x=2 \) 까지입니다.

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3️⃣ 🧠 고수 관점 / 구조 통찰

이 문제에서 가장 먼저 확인해야 할 것은 이것입니다.

“구간 중간에서 위아래가 바뀌는가?”

• \( y=x^2+3 \) : 위로 열린 포물선 (더 위쪽)
• \( y=-\frac{1}{5}x^2+3 \) : 아래로 열린 포물선 (더 아래쪽)

둘은 \( x=0 \)에서 같은 높이로 시작하지만, \( x>0 \)이 되면 항상 위쪽 식이 더 큽니다.

$$ x^2+3 > -\frac{1}{5}x^2+3 $$

위아래가 한 번도 바뀌지 않으므로 한 식으로 끝까지 적분하면 됩니다.

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4️⃣ 🔥 파인만 교습법 설명 (직관)

이 문제를 이렇게 생각해 보세요.

• 두 개의 길이 있습니다.
• 하나는 위로 휘어 올라가는 길, 하나는 아래로 휘어 내려가는 길입니다.
• 가운데(\( x=0 \))에서는 두 길이 딱 붙어 있습니다.
• 오른쪽으로 갈수록 두 길 사이의 틈이 점점 커집니다.

우리는 \( x=0 \)에서 출발해서 \( x=2 \)까지 이동하면서 그때그때 생기는 틈의 높이를 전부 더해 주는 것입니다.
이 “전부 더한다”가 바로 적분입니다.

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5️⃣ ✏️ 단계별 계산 풀이

Step 1. 위 − 아래 식 만들기

$$ (\text{위})-(\text{아래}) = (x^2+3) – \left(-\frac{1}{5}x^2+3\right) $$

괄호를 풀면 \( (+3) \)과 \( (-3) \)이 서로 사라집니다.

$$ = x^2+3+\frac{1}{5}x^2-3 = \frac{6}{5}x^2 $$

즉, 매 순간의 틈의 높이는 \( \frac{6}{5}x^2 \)입니다.

Step 2. 0부터 2까지 틈을 모은다 (적분)

$$ \text{넓이} = \int_{0}^{2} \frac{6}{5}x^2 dx $$

상수 \( \frac{6}{5} \)는 계산을 편하게 하기 위해 밖으로 빼겠습니다.

$$ = \frac{6}{5} \int_{0}^{2} x^2 dx $$

Step 3. 적분 규칙을 말로 이해하기 ⭐

여기서 수포자가 꼭 알아야 할 규칙 하나만 사용합니다.

[적분 규칙]
\( x^n \)을 적분하면
👉 지수는 하나 커지고 (\( n \rightarrow n+1 \))
👉 그 커진 숫자로 나눈다

따라서 \( x^2 \)은 지수가 하나 커져 \( x^3 \)이 되고, 3으로 나눕니다.

$$ \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} $$

Step 4. 값 대입

$$ \int_{0}^{2} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} $$

$$ = \frac{2^3}{3} – \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} $$

이제 다시 앞에 있던 \( \frac{6}{5} \)를 곱하면,

$$ \text{넓이} = \frac{6}{5} \cdot \frac{8}{3} = \frac{48}{15} $$

약분하면 정답입니다.

$$ \frac{48}{15} = \frac{16}{5} $$

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6️⃣ ✅ 정답 및 결론

정답: ⑤ \( \frac{16}{5} \)

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7️⃣ ⚠️ 자주 하는 실수

1. 공식 강박: 적분 공식을 외워야 한다고 생각함
   → 이 문제에서는 위에서 설명한 규칙 하나면 충분합니다.
2. 부호 실수: 괄호 앞의 마이너스를 빼먹음
   → 괄호가 있으면 부호가 전부 바뀐다는 점을 꼭 확인해야 합니다.
3. 경계 착각: \( x=2 \)를 곡선처럼 착각함
   → \( x=2 \)는 오른쪽 끝을 막아주는 벽일 뿐입니다.

📄 문제

5. 함수 \( f(x)=(x+2)(2x^2-x-2) \)에 대하여 \( f'(1) \)의 값은? [3점]

① 6
② 7
③ 8
④ 9
⑤ 10

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1️⃣ 문제 한 줄 요약

곱으로 된 함수는 “앞 미분·뒤 그대로 + 앞 그대로·뒤 미분” 구조로 미분한 뒤, \( x=1 \)만 대입해 값을 구하는 문제입니다.

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2️⃣ 📘 교과서 정공 풀이 (기본기)

곱의 미분법 공식은 다음과 같습니다.

$$ \{u(x)v(x)\}’ = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) $$

여기서 \( u=x+2 \), \( v=2x^2-x-2 \) 이므로 식을 적용하면 됩니다.

---

3️⃣ 🧠 고수 관점 / 핵심 통찰

이 문제는 \( f'(x) \)를 끝까지 예쁘게 정리할 필요가 없습니다.
어차피 \( f'(1) \)만 필요하므로, 숫자만 구해서 조립하면 계산이 가장 짧습니다.

“전개하지 말고, 미분한 덩어리에
바로 1을 넣어라!”

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4️⃣ 🔥 파인만 교습법 설명 (직관)

곱의 미분은 “두 사람이 같이 일하는 상황”으로 생각하면 쉽습니다.

• 한 번은 앞사람만 움직이고(미분), 뒷사람은 그대로
• 한 번은 뒷사람만 움직이고(미분), 앞사람은 그대로
• 그리고 둘을 더합니다.

즉, 리듬으로 외우면 끝입니다.

“앞 미분·뒤 그대로 + 앞 그대로·뒤 미분”

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5️⃣ ✏️ 단계별 계산 풀이

Step 1. \( u, v \)와 미분을 준비한다.

$$ u=x+2 \quad \Rightarrow \quad u’=1 $$

$$ v=2x^2-x-2 \quad \Rightarrow \quad v’=4x-1 $$

Step 2. \( x=1 \)에서 필요한 값만 계산한다.

$$ u(1)=1+2=3, \quad u'(1)=1 $$

$$ v(1)=2(1)^2-1-2=-1 $$

$$ v'(1)=4(1)-1=3 $$

Step 3. 곱의 미분법을 \( x=1 \)에 바로 적용한다.

$$ f'(1)=u'(1)v(1)+u(1)v'(1) $$

대입하면,

$$ = 1 \cdot (-1) + 3 \cdot 3 $$

$$ = -1 + 9 = 8 $$

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6️⃣ ✅ 정답 및 결론

정답: ③ 8

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7️⃣ ⚠️ 자주 하는 실수

1. 미분 실수: 각각 미분한 뒤 그냥 곱해버리는 실수
   → 곱의 미분은 반드시 두 항을 더해야 합니다.
2. 시간 낭비: 식을 전부 전개부터 하느라 계산이 길어지는 실수
   → 이 문제는 \( x=1 \)만 필요하므로 전개는 불필요합니다.
3. 부호 실수: \( v(1) \) 계산에서 \( 2-1-2=-1 \) 인데 부호를 틀리는 경우

📄 문제

4. 함수 \( f(x) \)가 다음과 같이 정의되어 있다.

$$ f(x) = \begin{cases} 3x-2 & (x<1) \\ x^2-3x+a & (x \ge 1) \end{cases} $$

이 함수가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 \( a \)의 값은? [3점]

① 1
② 2
③ 3
④ 4
⑤ 5

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1️⃣ 문제 한 줄 요약

연속 = 경계점에서 “왼쪽에서 온 값”과 “그 점에서 찍히는 값”이 같아야 한다는 것을 묻는 문제입니다.
이 문제의 경계점은 \( x=1 \) 입니다.

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2️⃣ 📘 교과서 정공 풀이 (기본기)

구간별로 정의된 함수가 실수 전체에서 연속이려면, 끊길 수 있는 지점인 경계점 (\(x=1\))에서 다음이 성립해야 합니다.

$$ \lim_{x\to 1^-} f(x)=f(1) $$

즉, 왼쪽 식의 1에서의 값과 오른쪽 식에 1을 넣은 값(함수값)이 같아야 합니다.

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3️⃣ 🧠 고수 관점 / 핵심 통찰

이 문제는 연속을 전 구간에서 따질 필요가 없습니다.
끊길 가능성은 \( x=1 \) 한 곳뿐이므로, 다음 한 줄로 끝납니다.

“위 식에 1 넣은 값 = 아래 식에 1 넣은 값”

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4️⃣ 🔥 파인만 교습법 설명 (직관)

연속을 “레일이 끊기지 않는다”라고 생각해 보겠습니다.

• 왼쪽 레일(\( x<1 \))은 이미 정해져 있고,
• 오른쪽 레일(\( x \ge 1 \))은 \( a \)로 높이를 조절할 수 있습니다.

연속이라는 말은 \( x=1 \)에서 레일 높이가 딱 맞아 발이 걸리거나(끊김) 점프하지 않는 상태입니다.
그래서 할 일은 단 하나입니다.

“\( x=1 \)에서 왼쪽 높이와 오른쪽 높이를 같게 맞춘다.”

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5️⃣ ✏️ 단계별 계산 풀이

Step 1. \( x<1 \) 쪽 식에 1을 넣는다 (좌극한)

$$ \lim_{x\to 1^-}(3x-2)=3(1)-2=1 $$

Step 2. \( x \ge 1 \) 쪽에서 \( f(1) \)을 계산한다

$$ f(1)=1^2-3(1)+a=a-2 $$

Step 3. 연속 조건 적용

두 값이 같아야 합니다.

$$ 1=a-2 $$

Step 4. \( a \)를 구한다

$$ a=3 $$

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6️⃣ ✅ 정답 및 결론

정답: ③ 3

핵심은 경계점에서 값이 이어지도록 맞추는 것입니다.

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7️⃣ ⚠️ 자주 하는 실수

1. 미분 착각: 연속인데 미분 가능까지 요구한다고 착각하는 실수
   → 이 문제는 연속만 묻습니다. (미분할 필요 없음)
2. 대입 실수: 경계점이 \( x=1 \)인데 다른 값을 넣는 실수
   → 구간이 갈라지는 숫자(1)만 확인하면 됩니다.
3. 식 혼동: 좌극한과 함수값 비교에서 식을 섞는 실수
   → 왼쪽은 위 식, 1에서의 값은 아래 식입니다.

📄 문제

3. 수열 \( \{a_k\} \)에 대하여

$$ \sum_{k=1}^{4}(2a_k-k)=0 $$

일 때,

$$ \sum_{k=1}^{4}a_k $$

의 값은? [3점]

① 1
② 2
③ 3
④ 4
⑤ 5

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1️⃣ 문제 한 줄 요약

시그마 안의 식을 따로따로 합으로 분리하면, \( \sum a_k \)가 바로 결정됩니다.

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2️⃣ 📘 교과서 정공 풀이 (기본기)

시그마는 덧셈·뺄셈에 대해 분배(선형성)가 됩니다.

$$ \sum_{k=1}^{4}(2a_k-k)=\sum_{k=1}^{4}2a_k-\sum_{k=1}^{4}k $$

문제에서 이 값이 0이므로 다음과 같습니다.

$$ \sum_{k=1}^{4}2a_k=\sum_{k=1}^{4}k $$

왼쪽은 \( 2 \)를 밖으로 뺄 수 있습니다.

$$ 2\sum_{k=1}^{4}a_k=\sum_{k=1}^{4}k $$

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3️⃣ 🧠 고수 관점 / 구조 통찰

이 문제는 “수열의 성질”을 묻는 게 아니라, 시그마를 분해해서 ‘알고 있는 합(1부터 4까지)’으로 바꾸는 문제입니다.

“\( \sum a_k \)는 미지수지만
\( \sum k \)는 바로 계산 가능”

이 구조를 보는 순간 끝납니다.

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4️⃣ 🔥 파인만 직관 설명 (핵심)

시그마는 그냥 “싹 다 더해라” 입니다.

• \( 2a_k \)들을 1~4까지 다 더한 값에서
• \( k \)를 1~4까지 다 더한 값을 뺐더니
• 결과가 0이 되었으니

결국 이런 뜻입니다.

“\( (2a_1+2a_2+2a_3+2a_4) \)의 합이
\( (1+2+3+4) \)의 합과 같다.”

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5️⃣ ✏️ 단계별 계산 풀이

Step 1. 오른쪽 합 계산

$$ \sum_{k=1}^{4}k=1+2+3+4=10 $$

Step 2. 식에 대입해서 정리

$$ 2\sum_{k=1}^{4}a_k=10 $$

양변을 2로 나누면 정답이 나옵니다.

$$ \sum_{k=1}^{4}a_k=5 $$

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6️⃣ ✅ 정답 및 결론

정답: ⑤ 5

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7️⃣ ⚠️ 자주 하는 실수

1. 분배 실수: \( \sum(2a_k-k) \)를 \( \sum 2a_k – \sum k \) 로 분리하지 못하고 엉뚱하게 푸는 실수
2. 덧셈 실수: \( 1+2+3+4 \)를 9로 계산하는 실수 (정답은 10)
3. 나눗셈 누락: \( 2\sum a_k=10 \)에서 2로 나누는 걸 빼먹고 10을 답으로 고르는 실수