📄 문제
9. 상수 \( a \)에 대하여 함수 \( f(x) \)를
$$ f(x) = x^3 + 3ax^2 – 9a^2x + 4 $$
라 하자. 직선 \( y=5 \)가 곡선 \( y=f(x) \)에 접할 때, \( f(2) \)의 값은? [4점]
① 11
② 12
③ 13
④ 14
⑤ 15
1️⃣ 문제 한 줄 요약
“\( y=5 \)에 접한다”는 말은, 어떤 \( x=t \)에서
- 높이가 5이고 (\( f(t)=5 \))
- 그 순간 그래프가 평평하다 (\( f'(t)=0 \))
이 두 가지가 동시에 일어난다는 뜻입니다.
2️⃣ 📘 교과서 정공 풀이 (기본기)
이 문제는 “접선”의 정의를 그대로 쓰는 문제입니다.
직선 \( y=5 \)는 항상 높이가 5인 선입니다.
그리고 이 선은 수평선이므로 기울기 = 0입니다.
곡선이 이 수평선에 “접한다”는 것은 그 지점에서 곡선도 같은 높이(5)에 있으면서 같은 기울기(0)를 가져야 한다는 뜻입니다.
그래서 접점의 \( x \)값을 \( t \)라고 두면:
$$ f(t)=5, \quad f'(t)=0 $$
3️⃣ 🧠 고수 관점 / 구조 통찰
수포자가 제일 많이 하는 실수는 “접점 \( t \)를 구하는 게 목적”이라고 착각하는 것입니다.
하지만 이 문제의 진짜 목표는 \( f(2) \)입니다.
\( t \)는 단지 \( a \)를 잡기 위한 도구입니다.
즉, “후보가 여러 개 나와도” 괜찮습니다. 우리는 진짜로 \( y=5 \)에 닿는 후보를 찾아서 \( a \)를 결정하면 됩니다.
4️⃣ 🔥 파인만 교습법 설명 (정말 수포자 기준으로)
1) “접한다”를 사람말로 풀면
직선 \( y=5 \)는 “높이가 5인 천장”입니다.
곡선이 천장에 접한다는 건 이런 상황입니다.
“그래프가 천장에 딱 한 번 닿는다”
근데 그냥 비스듬히 스치고 지나가면 “접한다”가 아니라 “지나간다”입니다.
“접한다”는 건 닿는 순간, 그 자리에 잠깐 붙어 있는 느낌입니다.
그래서 접점에서는 반드시 두 가지가 같이 일어납니다.
(A) 높이가 같아야 닿는다
천장이 5면, 닿는 점의 그래프 높이도 5여야 합니다.
$$ \Rightarrow f(t)=5 $$
(B) 붙으려면 평평해야 한다
천장은 수평이니까(기울기 0), 곡선도 그 순간에는 수평이어야 비스듬히 지나가지 않고 “붙어서” 닿습니다.
$$ \Rightarrow f'(t)=0 $$
그래서 접점에서는 무조건 두 개가 동시에 성립합니다.
$$ f(t)=5, \quad f'(t)=0 $$
5️⃣ ✏️ 단계별 계산 풀이 (막히는 곳 전부 설명)
Step 1. 먼저 기울기 식 \( f'(x) \)를 만든다 (미분)
$$ f(x)=x^3+3ax^2-9a^2x+4 $$
미분은 “기울기(그래프의 경사)”를 만드는 도구입니다. 우리는 “평평한 순간”을 찾고 싶으니 미분이 필요합니다.
각 항을 하나씩 미분합니다. (여기서 \( a \)는 숫자처럼 상수로 취급합니다.)
- \( x^3 \rightarrow 3x^2 \)
- \( 3ax^2 \rightarrow 3a \cdot 2x = 6ax \)
- \( -9a^2x \rightarrow -9a^2 \)
- \( +4 \rightarrow 0 \)
따라서
$$ f'(x)=3x^2+6ax-9a^2 $$
Step 2. “평평” 조건을 먼저 쓴다: \( f'(t)=0 \)
접점의 \( x \)값을 \( t \)라 두고:
$$ f'(t)=0 \quad \Rightarrow \quad 3t^2+6at-9a^2=0 $$
여기서 3은 모든 항에 공통으로 있으니 나누어 단순하게 합니다.
$$ t^2+2at-3a^2=0 $$
Step 3. 여기서 인수분해를 왜 하냐? (진짜 이유)
수포자 입장에서 “인수분해”는 기술처럼 보이지만, 목적은 간단합니다.
“우리는 지금 이 식이 0이 되는 \( t \)를 찾고 싶습니다.”
그리고 우리가 아는 아주 쉬운 원리 하나: 곱해서 0이면, 둘 중 하나는 0이다.
그래서 목표는 이 2차식을 (무언가)×(무언가) 꼴로 바꾸면 언제 0이 되는지 바로 알 수 있다는 것입니다.
Step 4. 인수분해를 “맞춰보기 + 검산”으로 따라간다
$$ t^2+2at-3a^2 $$
맨 앞이 \( t^2 \) → \( (t \dots)(t \dots) \) 형태일 가능성이 큽니다.
마지막이 \( -3a^2 \) → 부호가 서로 반대이고, \( a \)가 들어갑니다.
그래서 후보는 \( (t \pm a)(t \pm 3a) \) 느낌입니다.
이 중에서 가운데 항이 \( +2at \)가 되는 조합을 고르면 됩니다.
$$ (t-a)(t+3a) $$
를 실제로 곱해 봅니다. (검산)
- 첫 항: \( t \cdot t = t^2 \)
- 가운데 항: \( t \cdot 3a + (-a) \cdot t = 3at – at = 2at \)
- 마지막: \( (-a) \cdot (3a) = -3a^2 \)
정확히 같습니다. 따라서,
$$ (t-a)(t+3a)=0 $$
“곱해서 0이면 하나는 0”을 적용하면:
$$ t-a=0 \Rightarrow t=a \quad \text{또는} \quad t+3a=0 \Rightarrow t=-3a $$
즉, 평평해지는 지점(접점 후보)가 두 개 나옵니다.
Step 5. 이제 “높이” 조건 \( f(t)=5 \)로 진짜 후보를 고른다
이제부터가 진짜 접선 조건입니다.
평평하기만 하면 안 되고, 높이가 5여야 접합니다.
즉, 위에서 나온 후보를 둘 다 넣어 봐서 정말 \( f(t)=5 \)가 되는 쪽을 고릅니다.
(1) 후보 \( t=a \)를 넣어 본다
$$ f(a) = a^3 + 3a \cdot a^2 – 9a^2 \cdot a + 4 $$
$$ = a^3 + 3a^3 – 9a^3 + 4 = -5a^3 + 4 $$
접해야 하므로 \( f(a)=5 \):
$$ -5a^3+4=5 \quad \Rightarrow \quad -5a^3=1 \quad \Rightarrow \quad a^3=-\frac{1}{5} $$
(2) 후보 \( t=-3a \)도 넣어 본다
$$ f(-3a) = (-3a)^3 + 3a(-3a)^2 – 9a^2(-3a) + 4 $$
$$ = -27a^3 + 27a^3 + 27a^3 + 4 = 27a^3 + 4 $$
접해야 하므로 \( f(-3a)=5 \):
$$ 27a^3+4=5 \quad \Rightarrow \quad 27a^3=1 \quad \Rightarrow \quad a^3=\frac{1}{27} $$
$$ \Rightarrow a=\frac{1}{3} $$
Step 6. 이제 목표 \( f(2) \)를 계산한다
이제 \( a=\frac{1}{3} \)을 원래 함수에 넣고 \( x=2 \)를 계산합니다.
$$ f(x) = x^3 + 3ax^2 – 9a^2x + 4 $$
하나씩 계산을 “실수 안 나게” 정리해 보겠습니다.
- ① \( x^3 \rightarrow 2^3=8 \)
- ② \( 3ax^2 \rightarrow 3a=1 \text{이므로 } 1 \cdot 2^2=4 \)
- ③ \( -9a^2x \rightarrow -9a^2=-1 \text{이므로 } -1 \cdot 2=-2 \)
- ④ 마지막 \( +4 \)
이제 전부 더하면:
$$ f(2) = 8 + 4 – 2 + 4 = 14 $$
6️⃣ ✅ 정답 및 결론
정답: ④ 14
이 문제의 핵심 문장은 이것 하나로 정리됩니다.
접한다 = (높이 같다) + (기울기 같다)
$$ f(t)=5, \quad f'(t)=0 $$
7️⃣ ⚠️ 자주 하는 실수
- 개념 혼동: “접한다”를 “만난다”로 착각
→ 만나는 건 \( f(t)=5 \)만으로도 가능하지만, 접하는 건 기울기까지 같아야 합니다. - 기울기 0: 수평선의 기울기를 몰라서 흔들림
→ \( y=5 \)는 어떤 \( x \)에서도 높이가 5로 일정하므로 기울기 0 (평평)입니다. - 인수분해 막힘: 인수분해를 ‘마술’로 넘어가다 막힘
→ 목적은 0이 되는 \( t \)를 찾는 것이고, 곱으로 바꾸면 “하나가 0”이라는 쉬운 원리로 풀립니다.
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