📄 문제
7. 두 곡선 \( y=x^2+3, \quad y=-\frac{1}{5}x^2+3 \) 과 직선 \( x=2 \) 로 둘러싸인 부분의 넓이는? [3점]
① \( \frac{18}{5} \)
② \( \frac{7}{2} \)
③ \( \frac{17}{5} \)
④ \( \frac{33}{10} \)
⑤ \( \frac{16}{5} \)
1️⃣ 문제 한 줄 요약
이 문제는 두 곡선 사이에 생기는 세로 틈의 크기를 \( x=0 \)부터 \( x=2 \)까지 차곡차곡 모아 넓이로 바꾸는 문제입니다.
2️⃣ 📘 교과서 정공 풀이 (기본기)
① 넓이는 “위 − 아래”에서 시작한다
곡선 두 개로 둘러싸인 넓이를 구할 때 가장 중요한 원칙은 하나입니다.
“같은 \( x \)에서
위쪽 그래프의 높이 − 아래쪽 그래프의 높이”
이렇게 하면 그 순간의 세로 길이(틈)가 나오고, 이 틈을 계속 더한 값이 바로 넓이입니다.
② 어디서부터 어디까지 더할지 정해야 한다
넓이를 더하려면 구간이 필요합니다.
- 문제에 나온 직선 \( x=2 \) → 오른쪽 경계
- 왼쪽 경계 → 두 곡선이 서로 만나는 지점
따라서, 먼저 교점을 찾습니다.
③ 두 곡선의 교점 찾기 (왼쪽 끝)
두 곡선의 \( y \)값이 같을 때가 교점입니다.
$$ x^2+3 = -\frac{1}{5}x^2+3 $$
여기서 중요한 관찰 하나: 양쪽에 (+3)이 똑같이 있으므로 서로 지워도 됩니다.
$$ x^2 = -\frac{1}{5}x^2 $$
정리하면,
$$ x^2+\frac{1}{5}x^2=0 \quad \Rightarrow \quad \frac{6}{5}x^2=0 \quad \Rightarrow \quad x=0 $$
즉, 두 곡선은 \( x=0 \)에서 만납니다.
👉 넓이를 구할 구간은 \( x=0 \) 부터 \( x=2 \) 까지입니다.
3️⃣ 🧠 고수 관점 / 구조 통찰
이 문제에서 가장 먼저 확인해야 할 것은 이것입니다.
“구간 중간에서 위아래가 바뀌는가?”
- \( y=x^2+3 \) : 위로 열린 포물선 (더 위쪽)
- \( y=-\frac{1}{5}x^2+3 \) : 아래로 열린 포물선 (더 아래쪽)
둘은 \( x=0 \)에서 같은 높이로 시작하지만, \( x>0 \)이 되면 항상 위쪽 식이 더 큽니다.
$$ x^2+3 > -\frac{1}{5}x^2+3 $$
위아래가 한 번도 바뀌지 않으므로 한 식으로 끝까지 적분하면 됩니다.
4️⃣ 🔥 파인만 교습법 설명 (직관)
이 문제를 이렇게 생각해 보세요.
- 두 개의 길이 있습니다.
- 하나는 위로 휘어 올라가는 길, 하나는 아래로 휘어 내려가는 길입니다.
- 가운데(\( x=0 \))에서는 두 길이 딱 붙어 있습니다.
- 오른쪽으로 갈수록 두 길 사이의 틈이 점점 커집니다.
우리는 \( x=0 \)에서 출발해서 \( x=2 \)까지 이동하면서 그때그때 생기는 틈의 높이를 전부 더해 주는 것입니다.
이 “전부 더한다”가 바로 적분입니다.
5️⃣ ✏️ 단계별 계산 풀이
Step 1. 위 − 아래 식 만들기
$$ (\text{위})-(\text{아래}) = (x^2+3) – \left(-\frac{1}{5}x^2+3\right) $$
괄호를 풀면 \( (+3) \)과 \( (-3) \)이 서로 사라집니다.
$$ = x^2+3+\frac{1}{5}x^2-3 = \frac{6}{5}x^2 $$
즉, 매 순간의 틈의 높이는 \( \frac{6}{5}x^2 \)입니다.
Step 2. 0부터 2까지 틈을 모은다 (적분)
$$ \text{넓이} = \int_{0}^{2} \frac{6}{5}x^2 dx $$
상수 \( \frac{6}{5} \)는 계산을 편하게 하기 위해 밖으로 빼겠습니다.
$$ = \frac{6}{5} \int_{0}^{2} x^2 dx $$
Step 3. 적분 규칙을 말로 이해하기 ⭐
여기서 수포자가 꼭 알아야 할 규칙 하나만 사용합니다.
[적분 규칙]
\( x^n \)을 적분하면
👉 지수는 하나 커지고 (\( n \rightarrow n+1 \))
👉 그 커진 숫자로 나눈다
따라서 \( x^2 \)은 지수가 하나 커져 \( x^3 \)이 되고, 3으로 나눕니다.
$$ \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} $$
Step 4. 값 대입
$$ \int_{0}^{2} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} $$
$$ = \frac{2^3}{3} – \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} $$
이제 다시 앞에 있던 \( \frac{6}{5} \)를 곱하면,
$$ \text{넓이} = \frac{6}{5} \cdot \frac{8}{3} = \frac{48}{15} $$
약분하면 정답입니다.
$$ \frac{48}{15} = \frac{16}{5} $$
6️⃣ ✅ 정답 및 결론
정답: ⑤ \( \frac{16}{5} \)
7️⃣ ⚠️ 자주 하는 실수
- 공식 강박: 적분 공식을 외워야 한다고 생각함
→ 이 문제에서는 위에서 설명한 규칙 하나면 충분합니다. - 부호 실수: 괄호 앞의 마이너스를 빼먹음
→ 괄호가 있으면 부호가 전부 바뀐다는 점을 꼭 확인해야 합니다. - 경계 착각: \( x=2 \)를 곡선처럼 착각함
→ \( x=2 \)는 오른쪽 끝을 막아주는 벽일 뿐입니다.
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