📄 문제
5. 함수 \( f(x)=(x+2)(2x^2-x-2) \)에 대하여 \( f'(1) \)의 값은? [3점]
① 6
② 7
③ 8
④ 9
⑤ 10
1️⃣ 문제 한 줄 요약
곱으로 된 함수는 “앞 미분·뒤 그대로 + 앞 그대로·뒤 미분” 구조로 미분한 뒤, \( x=1 \)만 대입해 값을 구하는 문제입니다.
2️⃣ 📘 교과서 정공 풀이 (기본기)
곱의 미분법 공식은 다음과 같습니다.
$$ \{u(x)v(x)\}’ = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) $$
여기서 \( u=x+2 \), \( v=2x^2-x-2 \) 이므로 식을 적용하면 됩니다.
3️⃣ 🧠 고수 관점 / 핵심 통찰
이 문제는 \( f'(x) \)를 끝까지 예쁘게 정리할 필요가 없습니다.
어차피 \( f'(1) \)만 필요하므로, 숫자만 구해서 조립하면 계산이 가장 짧습니다.
“전개하지 말고, 미분한 덩어리에
바로 1을 넣어라!”
4️⃣ 🔥 파인만 교습법 설명 (직관)
곱의 미분은 “두 사람이 같이 일하는 상황”으로 생각하면 쉽습니다.
- 한 번은 앞사람만 움직이고(미분), 뒷사람은 그대로
- 한 번은 뒷사람만 움직이고(미분), 앞사람은 그대로
- 그리고 둘을 더합니다.
즉, 리듬으로 외우면 끝입니다.
“앞 미분·뒤 그대로 + 앞 그대로·뒤 미분”
5️⃣ ✏️ 단계별 계산 풀이
Step 1. \( u, v \)와 미분을 준비한다.
$$ u=x+2 \quad \Rightarrow \quad u’=1 $$
$$ v=2x^2-x-2 \quad \Rightarrow \quad v’=4x-1 $$
Step 2. \( x=1 \)에서 필요한 값만 계산한다.
$$ u(1)=1+2=3, \quad u'(1)=1 $$
$$ v(1)=2(1)^2-1-2=-1 $$
$$ v'(1)=4(1)-1=3 $$
Step 3. 곱의 미분법을 \( x=1 \)에 바로 적용한다.
$$ f'(1)=u'(1)v(1)+u(1)v'(1) $$
대입하면,
$$ = 1 \cdot (-1) + 3 \cdot 3 $$
$$ = -1 + 9 = 8 $$
6️⃣ ✅ 정답 및 결론
정답: ③ 8
7️⃣ ⚠️ 자주 하는 실수
- 미분 실수: 각각 미분한 뒤 그냥 곱해버리는 실수
→ 곱의 미분은 반드시 두 항을 더해야 합니다. - 시간 낭비: 식을 전부 전개부터 하느라 계산이 길어지는 실수
→ 이 문제는 \( x=1 \)만 필요하므로 전개는 불필요합니다. - 부호 실수: \( v(1) \) 계산에서 \( 2-1-2=-1 \) 인데 부호를 틀리는 경우
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