📄 문제
4. 함수 \( f(x) \)가 다음과 같이 정의되어 있다.
$$ f(x) = \begin{cases} 3x-2 & (x<1) \\ x^2-3x+a & (x \ge 1) \end{cases} $$
이 함수가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 \( a \)의 값은? [3점]
① 1
② 2
③ 3
④ 4
⑤ 5
1️⃣ 문제 한 줄 요약
연속 = 경계점에서 “왼쪽에서 온 값”과 “그 점에서 찍히는 값”이 같아야 한다는 것을 묻는 문제입니다.
이 문제의 경계점은 \( x=1 \) 입니다.
2️⃣ 📘 교과서 정공 풀이 (기본기)
구간별로 정의된 함수가 실수 전체에서 연속이려면, 끊길 수 있는 지점인 경계점 (\(x=1\))에서 다음이 성립해야 합니다.
$$ \lim_{x\to 1^-} f(x)=f(1) $$
즉, 왼쪽 식의 1에서의 값과 오른쪽 식에 1을 넣은 값(함수값)이 같아야 합니다.
3️⃣ 🧠 고수 관점 / 핵심 통찰
이 문제는 연속을 전 구간에서 따질 필요가 없습니다.
끊길 가능성은 \( x=1 \) 한 곳뿐이므로, 다음 한 줄로 끝납니다.
“위 식에 1 넣은 값 = 아래 식에 1 넣은 값”
4️⃣ 🔥 파인만 교습법 설명 (직관)
연속을 “레일이 끊기지 않는다”라고 생각해 보겠습니다.
- 왼쪽 레일(\( x<1 \))은 이미 정해져 있고,
- 오른쪽 레일(\( x \ge 1 \))은 \( a \)로 높이를 조절할 수 있습니다.
연속이라는 말은 \( x=1 \)에서 레일 높이가 딱 맞아 발이 걸리거나(끊김) 점프하지 않는 상태입니다.
그래서 할 일은 단 하나입니다.
“\( x=1 \)에서 왼쪽 높이와 오른쪽 높이를 같게 맞춘다.”
5️⃣ ✏️ 단계별 계산 풀이
Step 1. \( x<1 \) 쪽 식에 1을 넣는다 (좌극한)
$$ \lim_{x\to 1^-}(3x-2)=3(1)-2=1 $$
Step 2. \( x \ge 1 \) 쪽에서 \( f(1) \)을 계산한다
$$ f(1)=1^2-3(1)+a=a-2 $$
Step 3. 연속 조건 적용
두 값이 같아야 합니다.
$$ 1=a-2 $$
Step 4. \( a \)를 구한다
$$ a=3 $$
6️⃣ ✅ 정답 및 결론
정답: ③ 3
핵심은 경계점에서 값이 이어지도록 맞추는 것입니다.
7️⃣ ⚠️ 자주 하는 실수
- 미분 착각: 연속인데 미분 가능까지 요구한다고 착각하는 실수
→ 이 문제는 연속만 묻습니다. (미분할 필요 없음) - 대입 실수: 경계점이 \( x=1 \)인데 다른 값을 넣는 실수
→ 구간이 갈라지는 숫자(1)만 확인하면 됩니다. - 식 혼동: 좌극한과 함수값 비교에서 식을 섞는 실수
→ 왼쪽은 위 식, 1에서의 값은 아래 식입니다.
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