📄 문제
2. 함수 \( f(x)=3x^3+4x+1 \) 에 대하여
$$ \lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h} $$
의 값은? [2점]
① 7
② 9
③ 11
④ 13
⑤ 15
1️⃣ 문제 한 줄 요약
겉으로는 극한 문제처럼 보이지만, 이 식은 \(x=1\) 에서의 미분계수 \( f'(1) \) 를 묻는 신호입니다.
2️⃣ 📘 교과서 정공 풀이 (기본기)
이 극한식은 미분계수의 정의이므로 다음과 같습니다.
$$ \lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=f'(1) $$
따라서 \( f(x) \)를 미분한 뒤 \( x=1 \)을 대입하면 됩니다.
3️⃣ 🧠 고수 관점 / 구조 통찰
출제자는 \( \lim \)을 붙여서 계산을 유도하지만, 실제 의도는 단순합니다.
“미분해서 1을 넣어라.”
이걸 알아차리면 전개 계산(노가다)을 하지 않아도 바로 끝납니다.
4️⃣ 🔥 파인만 직관 설명 (핵심)
학생들이 겁먹는 지점은 \( \lim \)과 \( \frac{f(1+h)-f(1)}{h} \) 같은 형태입니다.
하지만 이건 ‘순간 변화율’을 표시하는 공식 문장일 뿐입니다.
말로 바꾸면 이렇게 됩니다.
“\(x=1\) 근처에서 아주 조금 움직였을 때, 함수값이 얼마나 빠르게 변하냐?”
그 ‘빠르기’가 바로 \( f'(1) \) 입니다.
즉, 미분해서 1을 넣는 문제입니다.
5️⃣ ✏️ 단계별 계산 풀이
Step 1. 미분하기
$$ f(x)=3x^3+4x+1 $$
미분하면 지수가 앞으로 내려옵니다.
$$ f'(x)=9x^2+4 $$
Step 2. \(x=1\) 대입
$$ f'(1)=9(1)^2+4=13 $$
6️⃣ ✅ 정답 및 결론
정답: ④ 13
핵심은 이 극한식을 미분계수 \( f'(1) \) 로 곧바로 해석하는 것입니다.
7️⃣ ⚠️ 자주 하는 실수
- 직접 전개: \( \lim \)이 보인다고 직접 전개해서 계산하려는 실수
→ 이 문제는 전개가 아니라 해석(=미분계수) 문제입니다. - 미분 실수: \( 3x^3 \) 미분에서 \( 9x^2 \)를 틀리게 쓰는 실수
- 상수 처리: 상수 \( +1 \)을 미분 후에도 남겨두는 실수
→ 상수의 미분은 0입니다.
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