10. 상수 \( a(a>1) \)에 대하여 곡선 \( y=a^x-2 \) 위의 점 중 제1사분면에 있는 점 \( A \)를 지나고 \( y \)축에 평행한 직선이 \( x \)축과 만나는 점을 \( B \), 곡선 \( y=a^x-2 \)의 점근선과 만나는 점을 \( C \)라 하자.
\( \overline{AB}=\overline{BC} \)이고 삼각형 \( AOC \)의 넓이가 \( 8 \)일 때, \( a\times \overline{OB} \)의 값은? (단, \( O \)는 원점이다.) [4점]
① \( 2^{\frac{13}{6}} \) ② \( 2^{\frac{7}{3}} \) ③ \( 2^{\frac{5}{2}} \) ④ \( 2^{\frac{8}{3}} \) ⑤ \( 2^{\frac{17}{6}} \)
1️⃣ 문제 한 줄 요약
점 \( A \)에서 내린 세로선 위에서 \( B \)는 \( y=0 \), \( C \)는 점근선 \( y=-2 \)에 고정이므로 \( \overline{BC}=2 \)가 항상 일정합니다.
따라서 \( \overline{AB}=\overline{BC} \)는 \( A \)의 높이를 바로 \( y=2 \)로 고정시키고, 넓이 \( 8 \)로 가로거리 \( \overline{OB} \)를 정하면 끝나는 문제입니다.
2️⃣ 📘 교과서 정공 풀이 (기본기)
점 \( A \)를 \( A(t, a^t-2) \)로 둔다.
\( A \)를 지나는 \( y \)축에 평행한 직선은 \( x=t \)이다.
\( B(t, 0) \), \( C(t, -2) \)를 잡는다.
조건 \( \overline{AB}=\overline{BC} \)로 \( a^t \)를 고정한다.
넓이 조건으로 \( t \)를 고정한다.
마지막에 \( a\times \overline{OB} \)를 계산한다.
3️⃣ 🧠 고수 관점 / 핵심 통찰
점근선을 “외우는 공식”으로 처리하면 수포자는 바로 멈춥니다. 그래서 점근선은 왜 그 선을 따라가는지로 이해해야 합니다.
4️⃣ 🔥 파인만 교습법 설명 (가장 중요)
✅ [수포자 생존 키트 1] 점근선이 뭔가요?
먼저 기본형 \( y=a^x \)를 생각합니다. (\( a>1 \))
\( x \)가 오른쪽으로 가면 값이 커집니다.
\( x \)가 왼쪽으로 아주 많이 가면(\( -\infty \)), \( a^x \)는 0에 점점 가까워지지만 0이 되지는 않습니다.
즉, 그래프는 \( y=0 \) (x축)을 끝없이 따라가듯이 붙습니다. 그래서 \( y=0 \)이 점근선입니다.
그럼 \( y=a^x-2 \)는? 전체가 아래로 2만큼 내려갔으니, 점근선도 똑같이 내려갑니다. $$ \text{점근선: } y=-2 $$
✅ “세로 엘리베이터”로 좌표 잡기
점 \( A \)에서 \( y \)축과 평행한 직선(세로선)을 그으면 그 선은 “엘리베이터”처럼 위아래로만 움직이는 선입니다.
그 선이 \( x \)축(\( y=0 \))을 만나는 점이 \( B \) (0층)
그 선이 점근선(\( y=-2 \))을 만나는 점이 \( C \) (지하 2층)
그래서 \( B \)에서 \( C \)까지는 언제나 2칸입니다.
$$ \overline{BC} = 0-(-2)=2 $$
문제는 \( \overline{AB}=\overline{BC} \)라 했으니, \( A \)는 0층에서 위로도 2칸 올라간 곳이어야 합니다. 따라서 \( A \)의 높이는 무조건 고정됩니다.
$$ y=2 $$
5️⃣ ✏️ 단계별 계산 풀이
Step 1. 점 \( A \)를 좌표로 두기
곡선 위의 점이므로 \( A \)를 다음과 같이 둡니다.
$$ A(t, a^t-2) $$
\( A \)를 지나는 세로선은 \( x=t \) 입니다. 따라서 \( B(t, 0) \), \( C(t, -2) \) 입니다.
Step 2. 길이 조건 \( \overline{AB}=\overline{BC} \)로 \( a^t \) 구하기
세 점이 같은 세로선 위에 있으므로 “거리”는 세로 차이입니다.
$$ \overline{BC}=0-(-2)=2 $$
$$ \overline{AB}=(a^t-2)-0=a^t-2 $$
조건이 같다고 했으므로,
$$ a^t-2=2 \quad \Rightarrow \quad a^t=4 $$
따라서 실제로 \( A \)의 좌표는 \( (t, 2) \)로 확정입니다.
Step 3. 넓이 조건으로 \( t \) 구하기
이제 좌표는 \( O(0,0), A(t,2), C(t,-2) \) 입니다.
✅ [수포자 생존 키트 2] 서 있는 삼각형 넓이
\( A \)와 \( C \)는 \( x \)가 같아서 \( \overline{AC} \)는 세로선입니다.
밑변(\( \overline{AC} \)): \( 2 – (-2) = 4 \)
높이: 원점에서 직선 \( x=t \)까지의 거리 \(\rightarrow\) 그냥 가로 길이 \( t \)
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